在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知sin(A－B)＝cosC．

（1）若a＝3，b＝，求c；

（2）求的取值范圍．

 

【答案】

（1）（2）

【解析】

試題分析：（1）根據三角形內角和定理和誘導公式，將三角形內角的三角函數(shù)關系轉化為角的關系，求出其中的一個角，然后利用余弦定理列方程，即可求的值.要注意角的范圍和三角函數(shù)的單調性.

（2）利用（1）的部分結論，可得，

＝＝＝,化成只含一個角的三角函數(shù)值，再利用三角函數(shù)的性質求出該式的范圍.

試題解析：（1）由sin(A－B)＝cosC，得sin(A－B)＝sin(－C)．

∵△ABC是銳角三角形，

∴A－B＝－C，即A－B＋C＝， ①

又A＋B＋C＝π， ②

由②－①，得B＝．

由余弦定理b2＝c2＋a2－2cacosB，得()2＝c2＋(3)2－2c×3cos，

即c2－6c＋8＝0，解得c＝2，或c＝4．

當c＝2時，b2＋c2－a2＝()2＋22－(3)2＝－4＜0，

∴b2＋c2＜a2，此時A為鈍角，與已知矛盾，∴c≠2．

故c＝4． 6分

（2）由（1），知B＝，∴A＋C＝，即C＝－A．

∴＝＝＝sin(2A－)．

∵△ABC是銳角三角形，

∴＜A＜，∴－＜2A－＜，

∴－＜sin(2A－)＜，∴－1＜＜1．

故的取值范圍為(－1，1)． 12分

考點：1、正弦定理；2、余弦定理；3、三角函數(shù)的性質.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

己知在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且tanC=
aba2+b2-c2

（Ⅰ）求角C大��；
（Ⅱ）當c=1時，求a2+b2的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•張掖模擬）在銳角△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c．且
a-c
b-c
=
sinB
sinA+sinC
．
（1）求角A的大小及角B的取值范圍；
（2）若a=
3
，求b2+c2的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
OP
=(2sin
x
2
，-1)，
OQ
=(cosx+f(x)，sin(
π
2
-
x
2
))，且
OP
∥
OQ
．
（1）求函數(shù)f（x）的表達式，并指出f（x）的單調遞減區(qū)間；
（2）在銳角△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，且f(A)=-
2
，bc=8，求△ABC的面積S．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知b2=ac且sinAsinC=
34
．
（Ⅰ）求角B的大小．
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）=sin（x-B）+sinx（0≤x＜π）的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知cos2C=-
3
4
．
（Ⅰ）求sinC；
（Ⅱ）當c=2a，且b=3
7
時，求a及△ABC的面積．

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