Question

已知函數f（x）=x³-3x²+ax+2，曲線y=f（x）在（0，2）處的切線與x軸交點的橫坐標為-2，
（1）求a；
（2）若y=f（x）與直線y=kx-2只有一個交點，求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,導數的概念及應用,直線與圓

分析：（1）求出函數的導數，求出切線的斜率，求出切線的方程，再令y=0，得到方程，解得即可；
（2）求出導數和單調區(qū)間，畫出f（x）的圖象，以及直線y=kx-2，注意k=1的相切的情況，再通過直線繞著定點（0，-2）旋轉，即可得到k的取值范圍．

解答： 解：（1）函數f（x）=x³-3x²+ax+2的導數
f′（x）=3x²-6x+a，
則曲線y=f（x）在（0，2）處的切線斜率為a，
即有曲線y=f（x）在（0，2）處的切線方程為：y=ax+2，
令y=0，則x=-

2

a

，由-2=-

2

a

，即有a=1；
（2）由f′（x）=3x²-6x+1，當1-

6

3

＜x＜1+

6

3

時，
f′（x）＜0，f（x）遞減，當x＞1+

6

3

或x＜1-

6

3

，
f′（x）＞0，f（x）遞增，如右圖，f（x）的圖象，
作出直線y=kx-2的圖象，恒過定點（0，-2），
令f′（x）=1，則x=0或2，切點為（0，2），（2，0）．
即k=1時，直線y=x-2與曲線y=f（x）相切，與曲線y=f（x）有兩個交點，
觀察當k＜1時，直線與曲線恒有一個交點，
則實數k的取值范圍是（-∞，1）．

點評：本題考查導數的運用：求切線方程，求單調區(qū)間，考查運算能力，屬于基礎題．