Question

已知函數(shù)y=f（x）滿足下列條件：（1）對?x∈R，函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）＜0恒成立；（2）函數(shù)y=f（x+2）的圖象關(guān)于點（-2，0）對稱；對?x、y∈R有f（x²-8x+21）+f（y²-6y）＞0恒成立．則當(dāng)0＜x＜4時，x²+y²的取值范圍為（　　）

• A、（3，7）
• B、（9，25）
• C、[9，41）
• D、（9，49）

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由（1）可得函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減；由（2）可得函數(shù)f（x）為減函數(shù)；已知對?x、y∈R有f（x²-8x+21）+f（y²-6y）＞0恒成立，化為f（x²-8x+21）＞-f（y²-6y）=f（6y-y²）．可得x²-8x+21＜6y-y²，化為（x-4）²+（y-3）²＜4．圓心C（4，3），半徑R=2．可得x²+y²≥（|OC|-R）²=9．直線x=4與圓（x-4）²+（y-3）²=4相交于點P（4，1），Q（4，5）．x²+y²＜|OQ|²=41．即可得出．

解答： 解：由（1）對?x∈R，函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）＜0恒成立，可得函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減；
由（2）函數(shù)y=f（x+2）的圖象關(guān)于點（-2，0）對稱，∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
∴對?x、y∈R有f（x²-8x+21）+f（y²-6y）＞0恒成立，化為f（x²-8x+21）＞-f（y²-6y）=f（6y-y²）．
∴x²-8x+21＜6y-y²，
化為（x-4）²+（y-3）²＜4．圓心C（4，3），半徑R=2．
∴x²+y²＞（|OC|-R）²=9．
直線x=4與圓（x-4）²+（y-3）²=4相交于點P（4，1），Q（4，5）．
∴x²+y²＜|OQ|²=41．
∴則當(dāng)0＜x＜4時，x²+y²的取值范圍為（9，41）．
故選：C．

點評：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、點與圓的位置關(guān)系、兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．