Question

已知點(diǎn)A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），若

AC

•

BC

=-1，則

1+tanα

2sin2α+sin2α

的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，求出向量AC，BC，由條件得到三角等式，運(yùn)用三角公式，主要是二倍角公式和同角公式，化簡(jiǎn)即可求出所求值．

解答： 解：∵點(diǎn)A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），
∴

AC

=（cosα-3，sinα），

BC

=（cosα，sinα-3），

AC

•

BC

=cosα（cosα-3）+sinα（sinα-3）
=cos²α+sin²α-3（cosα+sinα）=-1，
∴cosα+sinα=

2

3

，
平方得，cos²α+sin²α+2sinα•cosα=

4

9

，
∴2sinα•cosα=-

5

9

，
∴

1+tanα

2sin2α+sin2α

=

cosα+sinα

2cosα•sinα•(sinα+cosα)

=

1

2sinα•cosα

=-

9

5

．
故答案為：-

9

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，熟記二倍角公式和同角公式等，是迅速解題的關(guān)鍵．