Question

14．某校高二年級共有學(xué)生1000名，其中走讀生750名，住宿生250名，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從該年級抽取100名學(xué)生進行問卷調(diào)查．根據(jù)問卷取得了這100名學(xué)生每天晚上有效學(xué)習(xí)時間（單位：分鐘）的數(shù)據(jù)，按照以下區(qū)間分為八組：①[0，30），②[30，60），③[60，90），④[90，120），…得到頻率分布直方圖（部分）如圖．

（Ⅰ）如果把“學(xué)生晚上有效時間達到兩小時”作為是否充分利用時間的標準，對抽取的100名學(xué)生，完成下列2×2列聯(lián)表；并判斷是否有95%的把握認為學(xué)生利用時間是否充分與走讀、住宿有關(guān)？

	利用時間充分	利用時間不充分	總計
走讀生	50
住宿生	10
總計	60		100

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
參考列表：

P（K2≥k0）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k0	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024

（Ⅱ）若在第①組、第②組、第③組中共抽出3人調(diào)查影響有效利用時間的原因，記抽到“有效學(xué)習(xí)時間少于60分鐘”的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）把“學(xué)生晚上有效時間達到兩小時”作為是否充分利用時間的標準，對抽取的100名學(xué)生，完成下列2×2列聯(lián)表，求出K²，由K²＞3.841，得到有95%的把握認為學(xué)生利用時間是否充分與走讀、住宿有關(guān)．
（2）設(shè)第i組的頻率為P_i（i=1，2，…，8），推導(dǎo)出第①組1人，第②組4人，第③組10人，從而X的所有可能取值為0，1，2，3，$P（X=i）=\frac{{C_5^iC_{10}^{3-i}}}{{C_{15}^3}}（i=0，1，2，3）$，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）把“學(xué)生晚上有效時間達到兩小時”作為是否充分利用時間的標準，對抽取的100名學(xué)生，完成下列2×2列聯(lián)表如下：

	利用時間充分	利用時間不充分	總計
走讀生	50	25	75
住宿生	10	15	25
總計	60	40	100

…（2分）
K²=$\frac{100×（50×15-25×10）2}{75×25×40×60}$≈5.556 …（4分）
由于K²＞3.841，所以有95%的把握認為學(xué)生利用時間是否充分與走讀、住宿有關(guān)…（6分）
（2）設(shè)第i組的頻率為P_i（i=1，2，…，8），
則由圖可知：P₁=$\frac{1}{3000}$×30=$\frac{1}{100}$，P₂=$\frac{1}{750}$×30=$\frac{4}{100}$，P₃=$\frac{1}{300}$×30=$\frac{10}{100}$，
∴第①組1人，第②組4人，第③組10人．…（8分）
則X的所有可能取值為0，1，2，3，$P（X=i）=\frac{{C_5^iC_{10}^{3-i}}}{{C_{15}^3}}（i=0，1，2，3）$，
∴$P（X=0）=\frac{{C_5^0C_{10}^3}}{{C_{15}^3}}=\frac{24}{91}$，
$P（X=1）=\frac{{C_5^1C_{10}^2}}{{C_{15}^3}}=\frac{45}{91}，P（X=2）=\frac{{C_5^2C_{10}^1}}{{C_{15}^3}}=\frac{20}{91}，P（X=3）=\frac{{C_5^3C_{10}^0}}{{C_{15}^3}}=\frac{2}{91}$…..（10分）
∴X的分布列為：

P	0	1	2	3
X	$\frac{24}{91}$	$\frac{45}{91}$	$\frac{20}{91}$	$\frac{2}{91}$

$E（X）=0×\frac{24}{91}+1×\frac{45}{91}+2×\frac{20}{91}+3×\frac{2}{91}=1$．…..（12分）

點評 本題考查獨立性質(zhì)檢驗的應(yīng)用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意超幾何分布的性質(zhì)的合理運用．