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5.已知a=(3sinx,cosx),b=(cosx,-cosx),函數(shù)f(x)=ab-12
(1)若x∈[\frac{π}{4},\frac{π}{2}],求函數(shù)f(x)的最值及對應x的值;
(2)若不等式[f(x)-m]2<1在x∈[\frac{π}{4}\frac{π}{2}]上恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

分析 (1)根據(jù)平面向量的數(shù)量積運算,利用三角恒等變換化簡函數(shù)f(x),根據(jù)x的取值范圍求出f(x)的最大、最小值;
(2)方法一:由[f(x)-m]2<1得出f(x)-1<m<f(x)+1,利用最大、最小值求出m的取值范圍.
方法二:根據(jù)[f(x)-m]2<1得出m-1<f(x)<m+1,由此求出m的取值范圍.

解答 解:(1)因為\overrightarrow a=(\sqrt{3}sinx,cosx),\overrightarrow b=(cosx,-cosx),函數(shù)f(x)=\overrightarrow a\overrightarrow b-\frac{1}{2}
所以f(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x-1=sin(2x-\frac{π}{6})-1,…(4分)
∵x∈[\frac{π}{4},\frac{π}{2}],∴\frac{π}{3}≤2x-\frac{π}{6}\frac{5π}{6},…(5分)
當2x-\frac{π}{6}=\frac{π}{2},即x=\frac{π}{3}時,f(x)的最大值是f(x)max=0,
當2x-\frac{π}{6}=\frac{5π}{6},即x=\frac{π}{2}時,f(x)的最小值是f(x)min=-\frac{1}{2};…(7分)
(2)方法一:∵[f(x)-m]2<1,(x∈[\frac{π}{4},\frac{π}{2}]),
∴f(x)-1<m<f(x)+1,(x∈[\frac{π}{4},\frac{π}{2}]),
∴m>f(x)max-1且m<f(x)min+1,
故m的取值范圍是(-1,\frac{1}{2}).…(12分)
方法二:∵[f(x)-m]2<1,(x∈[\frac{π}{4},\frac{π}{2}]),
∴m-1<f(x)<m+1,(x∈[\frac{π}{4},\frac{π}{2}]),
∴m-1<-\frac{1}{2},且m+1>0,
解得-1<m<\frac{1}{2};
故m的取值范圍是(-1,\frac{1}{2}).

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積與三角恒等變換的應用問題,也考查了三角函數(shù)的圖象與性質的應用問題,是綜合題.

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