Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
5.已知a=(3sinx,cosx),b=(cosx,-cosx),函數(shù)f(x)=ab-12
(1)若x∈[π4,π2],求函數(shù)f(x)的最值及對應(yīng)x的值;
(2)若不等式[f(x)-m]2<1在x∈[π4,π2]上恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

分析 (1)根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,利用三角恒等變換化簡函數(shù)f(x),根據(jù)x的取值范圍求出f(x)的最大、最小值;
(2)方法一:由[f(x)-m]2<1得出f(x)-1<m<f(x)+1,利用最大、最小值求出m的取值范圍.
方法二:根據(jù)[f(x)-m]2<1得出m-1<f(x)<m+1,由此求出m的取值范圍.

解答 解:(1)因為a=(3sinx,cosx),b=(cosx,-cosx),函數(shù)f(x)=ab-12
所以f(x)=32sin2x-12cos2x-1=sin(2x-π6)-1,…(4分)
∵x∈[π4,π2],∴π3≤2x-π65π6,…(5分)
當(dāng)2x-π6=π2,即x=π3時,f(x)的最大值是f(x)max=0,
當(dāng)2x-π6=5π6,即x=π2時,f(x)的最小值是f(x)min=-12;…(7分)
(2)方法一:∵[f(x)-m]2<1,(x∈[π4,π2]),
∴f(x)-1<m<f(x)+1,(x∈[π4π2]),
∴m>f(x)max-1且m<f(x)min+1,
故m的取值范圍是(-1,12).…(12分)
方法二:∵[f(x)-m]2<1,(x∈[π4,π2]),
∴m-1<f(x)<m+1,(x∈[π4,π2]),
∴m-1<-12,且m+1>0,
解得-1<m<12
故m的取值范圍是(-1,12).

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積與三角恒等變換的應(yīng)用問題,也考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題,是綜合題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

15.(1)解不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集.
(2)若關(guān)于x的不等式|ax-2|<3的解集為{x|-53<x<13},求a的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

16.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且 cosB+cosC2a+c=0.
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)若b=13,a+c=4,求△ABC的面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

13.設(shè)函數(shù)f(x)=sinωx+3cosωx(ω>0)的周期為π.
(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)說明函數(shù)f(x)的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

20.已知圓C過點M(0,-2),N(3,1),且圓心C在直線x+2y+1=0上.
(Ⅰ)求圓C的方程;
(Ⅱ)過點(6,3)作圓C的切線,求切線方程;
(Ⅲ)設(shè)直線l:y=x+m,且直線l被圓C所截得的弦為AB,以AB為直徑的圓C1過原點,求直線l的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

10.若存在n∈N*使得(ax+1)2n和(x+a)2n+1(其中a≠0)的展開式中含xn項的系數(shù)相等,則a的最大值為23

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

17.函數(shù)y=sinxcosx1+sinxcosx的值域為[2+12,-1)∪(-1,212].

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

14.若sinα=-513,且α為第三象限角,則tanα的值等于( �。�
A.125B.-125C.512D.-512

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

15.已知向量a=13b=m2c=34,且a3bc
(1)求實數(shù)m的值;
(2)求向量ab的夾角θ.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案