Question

5．已知$\overrightarrow a$=（$\sqrt{3}$sinx，cosx），$\overrightarrow b$=（cosx，-cosx），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$-$\frac{1}{2}$．
（1）若x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，求函數(shù)f（x）的最值及對(duì)應(yīng)x的值；
（2）若不等式[f（x）-m]²＜1在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），根據(jù)x的取值范圍求出f（x）的最大、最小值；
（2）方法一：由[f（x）-m]²＜1得出f（x）-1＜m＜f（x）+1，利用最大、最小值求出m的取值范圍．
方法二：根據(jù)[f（x）-m]²＜1得出m-1＜f（x）＜m+1，由此求出m的取值范圍．

解答 解：（1）因?yàn)?\overrightarrow a$=（$\sqrt{3}$sinx，cosx），$\overrightarrow b$=（cosx，-cosx），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$-$\frac{1}{2}$．
所以f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x-1=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，…（4分）
∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，∴$\frac{π}{3}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，…（5分）
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$時(shí)，f（x）的最大值是f（x）_max=0，
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，即x=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）的最小值是f（x）_min=-$\frac{1}{2}$；…（7分）
（2）方法一：∵[f（x）-m]²＜1，（x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]），
∴f（x）-1＜m＜f（x）+1，（x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]），
∴m＞f（x）_max-1且m＜f（x）_min+1，
故m的取值范圍是（-1，$\frac{1}{2}$）．…（12分）
方法二：∵[f（x）-m]²＜1，（x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]），
∴m-1＜f（x）＜m+1，（x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]），
∴m-1＜-$\frac{1}{2}$，且m+1＞0，
解得-1＜m＜$\frac{1}{2}$；
故m的取值范圍是（-1，$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積與三角恒等變換的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合題．