Question

設函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx（x＞0）的圖象與直線y=4相切于M（1，4）．
（Ⅰ）求f（x）=x³+ax²+bx在區(qū)間（0，4]上的最大值與最小值；
（Ⅱ）設存在兩個不等正數(shù)s，t（s＜t），當x∈[s，t]時，函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx的值域是[ks，kt]，求正數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+2ax+b．依題意則有：所以解得
所以f（x）=x³-6x²+9x；
f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3），由f′（x）=0可得x=1或x=3．
f′（x），f（x）在區(qū)間（0，4]上的變化情況為：

x	0	（0，1）	1	（1，3）	3	（3，4）	4
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	0	增函數(shù)	4	減函數(shù)	0	增函數(shù)	4

所以函數(shù)f（x）=x³-6x²+9x在區(qū)間[0，4]上的最大值是4，最小值是0．
（2）由函數(shù)的定義域是正數(shù)知，s＞0，故極值點（3，0）不在區(qū)間[s，t]上；
①若極值點M（1，4）在區(qū)間[s，t]上，此時0＜s≤1≤t＜3，
故有（i）或（ii）
（i）由k=，1≤t＜3知，k∈，當且僅當t=1時，k=4；
再由k=（s-3）²，0＜s≤1知，k∈[4，9），當且僅當s=1時，k=4．
由于s≠t，故不存在滿足要求的k值．
（ii）由s=f（t）=f（t）=，及0＜s≤1可解得2≤t＜3，
所以k=，2≤t＜3知，k∈；
即當k∈時，存在t=∈[2，3），s=f（t）=∈（0，1]，
且f（s）≥4s=f（t）＞f（t），滿足要求．
②若函數(shù)f（x）在區(qū)間[s，t]上單調(diào)遞增，則0＜s＜t≤1或3＜s＜t，
且，故s，t是方程x²-6x+9=k的兩根，
由于此方程兩根之和為3，故[s，t]不可能同在一個單調(diào)增區(qū)間內(nèi)；
③若函數(shù)f（x）在區(qū)間[s，t]上單調(diào)遞減，則1＜s＜t＜3，，
兩式相減并整理得s²（s-3）²=t²（t-3）²，由1＜s＜t＜3知s（s-3）=t（t-3），即s+t=3，
再將兩式相減并除以s-t得-k=（s²+st+t²）-6（s+t）+9=（s+t）²-6（s+t）+9-st=-st，
即k=st，所以s，t是方程x²-3x+k=0的兩根，
令g（x）=x²-3x+k，
則解得2＜k＜，即存在s=，t=滿足要求．
綜上可得，當＜k＜時，存在兩個不等正數(shù)s，t（s＜t），使x∈[s，t]時，
函數(shù)f（x）=x³-6x²+9x的值域恰好是[ks，kt]．
分析：（1）先求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)求函數(shù)的極值，再求出端點值，比較極值和端點值的大小，得出最值．
（2）由函數(shù)的定義域是正數(shù)知，s＞0，故極值點（3，0）不在區(qū)間[s，t]上，討論st的取值范圍，最后兩式相減并整理得出結果
點評：該題考查函數(shù)的求導以及對st的討論，以及判別式的應用，注意在討論函數(shù)單調(diào)性時要畫表格．