Question

已知△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為，b，c，若c=3且a²-c²=ab-b²，則△ABC的面積的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理

專題：解三角形

分析：由a²-c²=ab-b²得a²+b²-c²=ab，根據(jù)余弦定理求出cosC的值，再求角C的值，把c=3代入a²+b²-c²=ab變形，由基本不等式可得ab≤9，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC面積的最大值．

解答： 解：由a²-c²=ab-b²，得a²+b²-c²=ab，
由余弦定理得，cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
∵0＜C＜π，∴C=

π

3

，
又∵c=3，且a²+b²-c²=ab，
∴a²+b²=ab+9，
∵a²+b²≥2ab，∴ab+9≥2ab，
解得ab≤9，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)取等號(hào)，ab的最大值是9，
此時(shí)△ABC的面積最大，即S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×9×

3

2

=

9 3

4

，
△ABC的面積的最大值為

9 3

4

，
故答案為：

9 3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦定理，基本不等式的應(yīng)用，特殊角的三角函數(shù)值以及三角形的面積公式，熟練掌握公式并會(huì)應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵．