Question

5．若函數(shù)f（x）=x•e^x-a有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值集合為{$-\frac{1}{e}$}．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，推出函數(shù)的極值，以及函數(shù)的單調(diào)性，然后求解實(shí)數(shù)a的取值集合．

解答 解：函數(shù)f（x）=x•e^x-a有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即x•e^x=a，只有一個(gè)解，
即函數(shù)y=x•e^x與y=a有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
y=x•e^x可得y′=e^x+x•e^x=（x+1）e^x．
x=-1時(shí)，y′=0，
x＜-1時(shí)，y′＜0，函數(shù)是減函數(shù)，
x＞-1時(shí)，y′＞0，函數(shù)是增函數(shù)，
x=-1時(shí)，y=x•e^x與取得極小值：$-\frac{1}{e}$．
此時(shí)函數(shù)y=x•e^x與y=-$\frac{1}{e}$有且只有一個(gè)交點(diǎn)．
a∈{-$\frac{1}{e}$}．
故答案為：{-$\frac{1}{e}$}

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性的判斷，考查轉(zhuǎn)化思想以及分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，是中檔題．