Question

2．已知f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且$f（x）+g（x）={（\frac{1}{2}）^x}$．
（1）求函數(shù)f（x）和g（x）的解析式；
（2）若存在${x_0}∈[{\frac{1}{2}，1}]$，使得等式af（x₀）+g（2x₀）=0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）以-x代替x，建立方程，與已知方程聯(lián)立，即可求函數(shù)f（x）和g（x）的解析式；
（2）由題，即存在${x_0}∈[\frac{1}{2}，1]$，$a=-\frac{{g（2{x_0}）}}{{f（{x_0}）}}$，構(gòu)造函數(shù)，確定其范圍，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）由$f（x）+g（x）={（\frac{1}{2}）^x}$得$f（-x）+g（-x）={（\frac{1}{2}）^{-x}}$，即$-f（x）+g（x）={（\frac{1}{2}）^{-x}}$，
所以$f（x）=\frac{1}{2}（{2^{-x}}-{2^x}）$，$g（x）=\frac{1}{2}（{2^{-x}}+{2^x}）$．
（2）由題，即存在${x_0}∈[\frac{1}{2}，1]$，$a=-\frac{{g（2{x_0}）}}{{f（{x_0}）}}$，
設(shè)$h（x）=-\frac{g（2x）}{f（x）}$，則h（x）=$-\frac{{\frac{1}{2}（{2^{-2x}}+{2^{2x}}）}}{{\frac{1}{2}（{2^{-x}}-{2^x}）}}$=$\frac{{{2^{2x}}+{2^{-2x}}}}{{{2^x}-{2^{-x}}}}$=$（{2^x}-{2^{-x}}）+\frac{2}{{{2^x}-{2^{-x}}}}$，
$x∈[\frac{1}{2}，1]$時(shí)，${2^x}-{2^{-x}}∈[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{3}{2}]$，
設(shè)t=2^x-2^-x，則$t∈[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{3}{2}]$，而$h（x）=t+\frac{2}{t}$，$y=t+\frac{2}{t}$在$[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\sqrt{2}]$是遞減，在$[\sqrt{2}，\frac{3}{2}]$上遞增，
因此${y_{最小}}=\sqrt{2}+\frac{2}{{\sqrt{2}}}=2\sqrt{2}$，${y_{最大}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{2}{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}=\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$，
所以$h（x）∈[2\sqrt{2}，\frac{{5\sqrt{2}}}{2}]$，即$a∈[2\sqrt{2}，\frac{{5\sqrt{2}}}{2}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)的最值，正確構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵．