Question

已知三點P（1，2），Q（2，1），R（3，2），過原點作一直線，使得點P，Q，R到此直線的距離的平方和最小，求此直線方程．

Answer 1

分析：①當直線的斜率存在時，由題意，可設所求直線方程為y=kx，利用點到直線的距離公式可得點P，Q，R到直線的距離平方和t=

(k-2)2

k2+1

+

(2k-1)2

k2+1

+

(3k-2)2

k2+1

，即（t-14）k²+20k+（t-9）=0，對t分類討論；即可得出t的最小值；
②當直線的斜率不存在時，直線為y軸，3點到y(tǒng)軸的距離的平方和為14，不是最小值．

解答：解：①當直線的斜率存在時，由題意，可設所求直線方程為y=kx，
設點P，Q，R到直線的距離平方和為t，則t=

(k-2)2

k2+1

+

(2k-1)2

k2+1

+

(3k-2)2

k2+1

=

14k2-20k+9

k2+1

，即（t-14）k²+20k+（t-9）=0，
當t=14時，k=-

1

4

；當t≠14時，由△≥0，可得

23-5 17

2

≤t≤

23+5 17

2

．
②當直線的斜率不存在時，直線為y軸，3點到y(tǒng)軸的距離的平方和為14，不是最小值．
綜上可知：t的最小值為

23-5 17

2

，此時k=

-1+ 17

4

．
故直線的方程為y=

17 -1

4

x．

點評：熟練掌握直線的方程、點到直線的距離公式、一元二次方程與判別式的關系、分類討論的思想方法等是解題的關鍵．