平面直角坐標系xOy中，過橢圓M：右焦點的直線交于A,B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為.

(Ι)求M的方程；

（Ⅱ）C,D為M上的兩點，若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB，求四邊形面積的最大值

 

【答案】

(Ι) （Ⅱ）

【解析】(Ι)設則，，（1）－（2）得：

，因為，設，因為P為AB的中點，且OP的斜率為，所以，即，所以可以解得，即，即，又因為，所以，所以M的方程為.

（Ⅱ）因為CD⊥AB，直線AB方程為，所以設直線CD方程為，

將代入得：，即、，所以可得

；將代入得：，設則

=，又因為，即，所以當時，|CD|取得最大值4，所以四邊形ACBD面積的最大值為.

本題第（Ⅰ）問，屬于中點弦問題,運用設而不求的數(shù)學思想;第（Ⅱ）問,運用弦長公式求出弦長,然后由面積公式求出面積的最大值.對第（Ⅰ）問，一部分同學想不到設而不求的思想,容易聯(lián)立方程組求解而走彎路；第（Ⅱ）問,容易出現(xiàn)計算失誤.

【考點定位】本小題考查橢圓的方程的求解、直線與橢圓的位置關系，考查數(shù)學中的待定系數(shù)法、設而不求思想 ，考查同學們的計算能力以及分析問題、解決問題的能力.圓錐曲線是高考的熱點問題,年年必考,熟練本部分的基礎知識是解答好本類問題的關鍵.

 

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，“方程
x2
k-1
+
y2
k-3
=1表示焦點在x軸上的雙曲線”的充要條件是k∈
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，Pn（n，n2）（n∈N+）是拋物線y=x2上的點，△OPnPn+1的面積為Sn．
（1）求Sn；
（2）化簡
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
；
（3）試證明S1+S2+…+Sn=
n(n+1)(n+2)
6
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知平面直角坐標系xOy中，A(4+2
3
，2)，B(4，4)，圓C是△OAB的外接圓．
（1）求圓C的方程；
（2）若過點（2，6）的直線l被圓C所截得的弦長為4
3
，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為：
x=-2+
3
5
t
y=2+
4
5
t
（t為參數(shù)），它與曲線C：（y-2）2-x2=1交于A，B兩點．
（1）求|AB|的長；
（2）在以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，設點P的極坐標為(2
2
，
3π
4
)，求點P到線段AB中點M的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知矩形ABCD的兩邊AB，CD分別落在x軸、y軸的正半軸上，且AB=2，AD=4，點A與坐標原點重合．現(xiàn)將矩形折疊，使點A落在線段DC上，若折痕所在的直線的斜率為k，試寫出折痕所在直線的方程及k的范圍．

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