Question

已知AB=4，BC=2的矩形ABCD，沿對角線BD將△BDC折起，使得面BCD⊥面ABD，則異面直線BC與AD所成角的余弦值為

1

5

．

Answer 1

分析：由題意可得CE⊥面ABD，AF⊥面 BCD，由等面積可得AF=CE=

4 5

5

，進而可得

AD

•

BC

=2×2×cos＜

AD

，

BC

＞，還可得

AD

•

BC

=

4

5

，由此可解得答案．

解答：解：因為平面BCD⊥平面ABD，作CE⊥BD，AF⊥BD，則 CE⊥面ABD，AF⊥面 BCD，
由等面積可得

1

2

×BD×CE=

1

2

×CB×CD，即

1

2

×2

5

×CE=

1

2

×2×4，
解得CE=

4 5

5

，同理可得AF=CE=

4 5

5

，
故

AD

•

BC

=2×2×cos＜

AD

，

BC

＞，
又

AD

•

BC

=（

AF

+

FD

）•（

BE

+

EC

）=

AF

•

BE

+

AF

•

EC

+

FD

•

BE

+

FD

•

EC

=0+0+

FD

2+0=BC²-CE²=22-(

4 5

5

)2=

4

5

，
故可得cos＜

AD

，

BC

＞=

4

5

÷2÷2=

1

5

故異面直線BC與AD所成角的余弦值為：

1

5

故答案為：

1

5

點評：本題考查異面直線所成的角，轉(zhuǎn)化為向量的夾角是解決問題關(guān)鍵，屬中檔題．