如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，并且PD=a，PA=PC=a．

    （1）求證：PD^平面ABCD；

    （2）求異面直線PB與AC所成的角；

    （3）求二面角A-PB-D的大��；

答案：
解析：

如圖：（1）證明：∵ PC=a，PD=DC=a，∴ DPDC是RtD，∴ PD^DC，同理，PD^DA．而AD∩DC=D，∴ PD^平面ABCD．

    （2）解：連結(jié)BD，因?yàn)?i style='mso-bidi-font-style:normal'>ABCD是正方形，∴ BD^AC．

    又PD^平面ABCD，∴ BD是PB在平面ABCD上的射影．

    由三垂線定理，得PB^AC．

    PB與AC成90°角．

    （3）解：設(shè)AC∩BD=O，作AE^PB于E，連結(jié)OE．∵ AC^BD．又PD^平面ABCD，ACÌ平面ABCD．∴ PD^AC．

    而PD∩BD=D，∴ AC^平面PDB．

    ∴ OE是AE在平面PDB上的射影．

    由三垂線定理逆定理知OE^PB．

    ∴ ÐAEO是二面角A-PB-D的平面角．

    又AB=a，PA=a，PB=a．

    ∵ PD^平面ABCD，DA^AB，∴ PA^AB．

    ∴ ，∴ ．

    故ÐAEO=60°．所以所求二面角A-PB1-D為60°．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2
2
，∠PAB=60°．
（1）證明AD⊥PB；
（2）求二面角P-BD-A的正切值大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，AB=4，PA=3，點(diǎn)A在PD上的射影為點(diǎn)G，點(diǎn)E在AB上，平面PEC⊥平面PDC．
（1）求證：AG∥平面PEC；
（2）求AE的長；
（3）求二面角E-PC-A的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠BCD=120°，BC⊥AB，CD⊥AD，BC=CD=PA=a，
（Ⅰ）求證：平面PBD⊥平面PAC．
（Ⅱ）求四棱錐P-ABCD的體積V．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為a的菱形，∠ABC=60°PD⊥面ABCD，PC=a，E為PB中點(diǎn)
（1）求證；平面ACE⊥面ABCD；
（2）求三棱錐P-EDC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•武漢模擬）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，且∠BAD=90°，又PA⊥底面ABCD，BC=AB=PA=1，AD=2．
（1）求二面角P-CD-A的平面角正切值，
（2）求A到面PCD的距離．

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