Question

已知向量，b（sinωx，0），且ω＞0，設(shè)函數(shù)f（x）=（a+b）•b+k．
（1）若f（x）的圖象中相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離不小于，求ω的取值范圍．
（2）若f（x）的最小正周期為π，且當(dāng)時(shí)，f（x）的最大值是2，求就k的值．

Answer 1

解：∵，（sinωx，0），
∴+=（cosωx+sinωx，sinωx），
∴f（x）=sinωxcosωx+sin²ωx+k
=sin2ωx-cos2ωx++k
=sin（2ωx-）++k，
（1）由題意得：T==，
∴=≥，∴ω≤1，又ω＞0，
則ω的取值范圍0＜ω≤1；
（2）∵T=π，∴=π，即ω=1，
∴f（x）=sin（2x-）++k，
∵，∴2x-∈[-，]，
則當(dāng)2x-=，即x=時(shí)，f（x）取得最大值，
∴f（）=2，及sin（2×-）++k=2，
解得：k=1．
分析：由和的坐標(biāo)求出+的坐標(biāo)，進(jìn)而利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則算出（+）•的值，把f（x）的解析式變形，再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，從而利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，
（1）找出ω的值，代入周期公式求出f（x）的周期，根據(jù)f（x）的圖象中相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離不小于，得到周期的一半大于等于，再由ω＞0即可求出ω的取值范圍；
（2）由f（x）的最小正周期為π求出ω的值，代入f（x）的解析式，根據(jù)x的范圍求出2x-范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到f（x）取得最大值時(shí)x的值，把求出x的值及f（x）的最大值為2代入f（x）解析式，即可求出k的值．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角函數(shù)的恒等變形，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，三角函數(shù)的周期性及其求法，以及正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中利用三角函數(shù)的恒等變換及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則把f（x）的解析式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)是解本題的關(guān)鍵．