Question

四面體A-BCD的棱長均為a，E，F(xiàn)分別為棱BC，AD的中點
（1）求異面直線CF和BD所成的角的余弦值．
（2）求CF和ED所成的角．

Answer 1

分析：（1）設G為AB中點，連接CG，GF則BD∥GF，∠GFC為異面直線CF和BD所成的角，在△GFC中求解即可．
（2）連接AE，設H為AE中點，連接HF，則HF∥ED，∠HFC為CF和ED所成的角，在△HFC中求解即可．

解答：解：不妨設a=2，
（1）設G為AB中點，連接CG，GF則BD∥GF，∠GFC為異面直線CF和BD所成的角．
∵GF=

1

2

BD=1，CG=CF=

CD2-DF2

=

4-1

=

3

，
在△GFC中，由余弦定理得cos∠GFC=

CF2+GF2-GC2

2CF•GF

=

1

2× 3

=

3

6

異面直線CF和BD所成的角的余弦值為

3

6

．
 

（2）連接AE，設H為AE中點，連接HF，則HF∥ED，∠HFC為CF和ED所成的角．
在△AHC中，AH=

1

2

AE=

1

2

AC2-CE2

=

3

2

，則HC²=AH²+AC²-2AH×ACcos30°=

7

4

．
在△HFC中，HF=

1

2

DE=

1

2

DC2-CE2

，CF=

3

，
由余弦定理得cos∠HFC=

CF2+HF2-HC2

2CF•HF

=

3 2+( 3 2 )2- 7 4

2 3 • 3 2

=

2

3

∴CF和ED所成的角為arccos

2

3

．

點評：本題考查異面直線夾角的大小計算．應首先根據(jù)定義找出或作出夾角的平面角，在去解三角形求得．