如圖,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為正方形,P點(diǎn)在平面ABCD內(nèi)的射影為A,且PA=AB=2,E為PD中點(diǎn).

(1)

證明:PB//平面AEC;

(2)

證明:平面PCD⊥平面PAD;

(3)

求二面角E-AC-D的正切值.

答案:
解析:

(1)

證明:連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O,連結(jié)EO.……………………1分

O為BD中點(diǎn),E為PD中點(diǎn),

∴EO//PB.……………………2分

EO平面AEC,PB平面AEC,……………………3分

∴PB//平面AEC.……………………4分

(2)

證明:P點(diǎn)在平面ABCD內(nèi)的射影為A,

∴PA⊥平面ABCD.

平面ABCD,

.……………………5分

在正方形ABCD中,……………………6分

∴CD平面PAD.……………………7分

平面PCD,

∴平面平面.……………………8分

(3)

解法1:取AD中點(diǎn)L,過(guò)L作LKAC于K,連接EK、EL,………………9分

L為AD中點(diǎn),∴EL//PA,∴EL平面ABCD,

∴LK為EK在平面ABCD內(nèi)的射影.

LKAC,∴EKAC,……………………11分

為二面角E—AC—D的平面角.……………………12分

在RtADC中,LKAC,

,

,即,∴,……………………13分

在Rt中,,

∴二面角E—AC—D的正切值為.……………………14分

解法2:

如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系.………………9分

由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)分別為

A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),

D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1).……………10分

PA平面ABCD,∴是平面ABCD的法向量,=(0,0,2).

設(shè)平面AEC的法向量為,,

∴令,則.………………12分

,…………………13分

∴二面角E—AC—D的正切值為.…………………14分


練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形,且PD=a,PA=PC=
2
a
,
(1)求證:PD⊥平面ABCD;(2)求二面角A-PB-D的平面角的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=
90°,側(cè)面PAD⊥底面ABCD.若PA=AB=BC=
12
AD.
(Ⅰ)求證:CD⊥平面PAC;
(Ⅱ)側(cè)棱PA上是否存在點(diǎn)E,使得BE∥平面PCD?若存在,指出點(diǎn)E的位置并證明,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(Ⅲ)求二面角A-PD-C的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為等腰梯形,AB∥CD,AD=BC=2,對(duì)角線AC⊥BD于O,∠DAO=60°,且PO⊥平面ABCD,直線PA與底面ABCD所成的角為60°,M為PD上的一點(diǎn).
(Ⅰ)證明:PD⊥AC;
(Ⅱ)求二面角A-PB-D的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn),作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.
(1)證明PB⊥平面EFD;
(2)求二面角C-PB-D的大。
(3)求點(diǎn)A到面EBD的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD為正方形,PD=DC,E,F(xiàn)分別是AB,PB的中點(diǎn).
(1)求證:EF∥平面PAD;
(2)求證:EF⊥CD;
(3)設(shè)PD=AD=a,求三棱錐B-EFC的體積.

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