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(1) |
證明:連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O,連結(jié)EO.……………………1分 O為BD中點(diǎn),E為PD中點(diǎn), ∴EO//PB.……………………2分 EO平面AEC,PB平面AEC,……………………3分 ∴PB//平面AEC.……………………4分 |
(2) |
證明:P點(diǎn)在平面ABCD內(nèi)的射影為A, ∴PA⊥平面ABCD. 平面ABCD, ∴.……………………5分 又在正方形ABCD中且,……………………6分 ∴CD平面PAD.……………………7分 又平面PCD, ∴平面平面.……………………8分 |
(3) |
解法1:取AD中點(diǎn)L,過(guò)L作LKAC于K,連接EK、EL,………………9分 L為AD中點(diǎn),∴EL//PA,∴EL平面ABCD, ∴LK為EK在平面ABCD內(nèi)的射影. 又LKAC,∴EKAC,……………………11分 ∴為二面角E—AC—D的平面角.……………………12分 在RtADC中,LKAC, ∴∽, ∴,即,∴,……………………13分 在Rt中,, ∴二面角E—AC—D的正切值為.……………………14分 解法2: 如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系.………………9分 由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)分別為 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0), D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1).……………10分 PA平面ABCD,∴是平面ABCD的法向量,=(0,0,2). 設(shè)平面AEC的法向量為,, 則即 ∴ ∴令,則.………………12分 ∴,…………………13分 ∴. ∴二面角E—AC—D的正切值為.…………………14分 |
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