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10.已知函數(shù)f(x)=sinx+cosx,x∈R.
(Ⅰ)求f(\frac{π}{2})的值;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(Ⅲ)求函數(shù)g(x)=f(x+\frac{π}{4})+f(x+\frac{3π}{4})的最小值.

分析 (Ⅰ)直接利用條件求得f(\frac{π}{2})的值.
(Ⅱ)利用兩角和的正弦公式化簡函數(shù)的解析式,可得函數(shù)f(x)的最小正周期.
(Ⅲ)由條件利用兩角和的余弦公式、誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)的解析式,再利用余弦函數(shù)的值域求得g(x)取得最小值

解答 解:(Ⅰ)∵函數(shù)f(x)=sinx+cosx,∴f(\frac{π}{2})=sin\frac{π}{2}+cos\frac{π}{2}=1.   
(Ⅱ)因為f(x)=sinx+cosx=\sqrt{2}sin(x+\frac{π}{4}),所以函數(shù)f(x)的最小正周期為2π.
(Ⅲ)因為g(x)=f(x+\frac{π}{4})+f(x+\frac{3π}{4})=\sqrt{2}sin(x+\frac{π}{2})+\sqrt{2}sin(x+π)=\sqrt{2}(cosx-sinx)=2cos(x+\frac{π}{4}),
所以當(dāng)x+\frac{π}{4}=2kπ+π,k∈Z時,即x=2kπ+\frac{3π}{4},k∈Z時,函數(shù)g(x)取得最小值為-2.

點評 本題主要考查兩角和差的三角公式的應(yīng)用,余弦函數(shù)的值域,屬于基礎(chǔ)題.

練習(xí)冊系列答案
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