Question

4．已知正實數(shù)x，y，則$f（x，y）=|x-y|+\frac{16}{x}+{y^2}$的最小值為$\frac{31}{4}$．

Answer 1

分析 當x-y＞0時，去絕對值后平方，利用基本不等式求最值；當x-y≤0時，$f（x，y）=|x-y|+\frac{16}{x}+{y^2}$=$（-x+\frac{16}{x}）+（{y}^{2}+y）$，由該函數(shù)在x∈（0，y]上單調遞減可得
$f（x，y）≥（-y+\frac{16}{y}）+（{y}^{2}+y）={y}^{2}+\frac{16}{y}$，然后利用導數(shù)求最值．

解答 解：當x-y＞0時，$f（x，y）=|x-y|+\frac{16}{x}+{y^2}$=$（x+\frac{16}{x}）+（{y}^{2}-y）=（x+\frac{16}{x}）+（y-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}$$≥2\sqrt{x•\frac{16}{x}}-\frac{1}{4}=\frac{31}{4}$，
當且僅當x=4，y=$\frac{1}{2}$時取得“=”；
當x-y≤0時，$f（x，y）=|x-y|+\frac{16}{x}+{y^2}$=$（-x+\frac{16}{x}）+（{y}^{2}+y）$，該函數(shù)在x∈（0，y]上單調遞減，
∴$f（x，y）≥（-y+\frac{16}{y}）+（{y}^{2}+y）={y}^{2}+\frac{16}{y}$，
再設$h（y）={y^2}+\frac{16}{y}$（y∈（0，+∞）），則由h′（y）=$\frac{2{y}^{3}-16}{{y}^{2}}=0$，
得y=2，可得h（y）_min=h（2）=12＞$\frac{31}{4}$，
綜上可知，$f（x，y）=|x-y|+\frac{16}{x}+{y^2}$的最小值為$\frac{31}{4}$，
故答案為：$\frac{31}{4}$．

點評 本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，考查分類討論的數(shù)學思想方法，考查數(shù)學轉化思想方法及利用導數(shù)求最值，屬難題．