Question

1．設數列{a_n}滿足a_n+1=a_n+4，且a₁=2，{b_n}為等比數列，且a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁．
（1）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）設c_n=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）數列{a_n}是公差d=a_n+1-a_n=4，首項a₁=2的等差數列，由此能求出a_n，由{b_n}為等比數列，且a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁，求出首項與公比，由此能出{b_n}的通項公式．
（2）由c_n=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=$\frac{4n-2}{2×（\frac{1}{4}）^{n-1}}$=（2n-1）×4^n-1，利用錯位相減法能求出數列{c_n}的前n項和．

解答 解：（1）∵數列{a_n}滿足a_n+1=a_n+4，且a₁=2，
∴數列{a_n}是公差d=a_n+1-a_n=4，首項a₁=2的等差數列，
∴a_n=2+（n-1）×4=4n-2．
∵{b_n}為等比數列，且a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁．
∴b₁=a₁=2，$_{2}=\frac{_{1}}{{a}_{2}-{a}_{1}}$=$\frac{2}{（4×2-2）-2}$=$\frac{1}{2}$，
∴q=$\frac{_{2}}{_{1}}$=$\frac{\frac{1}{2}}{2}$=$\frac{1}{4}$，
∴b_n=2×（$\frac{1}{4}$）^n-1．
（2）∵c_n=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=$\frac{4n-2}{2×（\frac{1}{4}）^{n-1}}$=（2n-1）×4^n-1，
∴數列{c_n}的前n項和：
T_n=1×4⁰+3×4¹+5×4²+…+（2n-1）×4^n-1，①
4T_n=1×4+3×4²+5×4³+…+（2n-1）×4ⁿ，②
①-②，得：
-3T_n=1+2（4+4²+4³+…+4^n-1）-（2n-1）×4ⁿ
=1+2×$\frac{4（1-{4}^{n-1}）}{1-4}$-（2n-1）×4ⁿ
=（$\frac{5}{3}-2n$）×4ⁿ-$\frac{5}{3}$，
∴T_n=（$\frac{2n}{3}-\frac{5}{9}$）×4ⁿ+$\frac{5}{9}$．

點評 本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，考查等比數列、等差數列、錯位相減法等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．