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11.若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)+f(a-x)=2b(其中a,b不同時為0),則稱函數(shù)y=f(x)為“準奇函數(shù)”,稱點(a,b)為函數(shù)f(x)的“中心點”.現(xiàn)有如下命題:
①函數(shù)f(x)=sinx+1是準奇函數(shù);
②若準奇函數(shù)y=f(x)在R上的“中心點”為(a,f(a)),則函數(shù)F(x)=f(x+a)-f(a)為R上的奇函數(shù);
③已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+6x-2是準奇函數(shù),則它的“中心點”為(1,2);
其中正確的命題是①②③..(寫出所有正確命題的序號)

分析 在①中,f(0+x)+f(0-x)=2,得a=0,b=1,滿足“準奇函數(shù)”的定義;在②中,根據(jù)函數(shù)“準奇函數(shù)”的定義,利用函數(shù)奇偶性的定義即可證明函數(shù)F(x)=f(x+a)-f(a)為R上的奇函數(shù);在③中,f(1+x)+f(1-x)=(1+x)3-3(1+x)2+6(1+x)-2+(1-x)3-3(1-x)2+6(1-x)-2=4,得點(1,2)為函數(shù)f(x)的“中心點”.

解答 解:在①中,∵函數(shù)f(x)=sinx+1,∴f(0+x)+f(0-x)=2,
∴a=0,b=1,滿足“準奇函數(shù)”的定義,故①正確;
在②中,若F(x)=f(x+a)-f(a),
則F(-x)+F(x)=f(x+a)-f(a)+f(-x+a)-f(a)=f(a-x)+f(a+x)-2f(a),
∵f(x)在R上的“中心點”為(a,f(a)),
∴f(a-x)+f(a+x)=2f(a),
即F(-x)+F(x)=f(a-x)+f(a+x)-2f(a)=0,
∴F(-x)=-F(x),∴函數(shù)F(x)=f(x+a)-f(a)為R上的奇函數(shù),∴故②正確.
在③中,函數(shù)f(x)=x3-3x2+6x-2,
∴f(1+x)+f(1-x)=(1+x)3-3(1+x)2+6(1+x)-2+(1-x)3-3(1-x)2+6(1-x)-2=4,
∴點(1,2)為函數(shù)f(x)的“中心點”,故③正確.
故答案為:①②③.

點評 本題主要考查函數(shù)中心的定義的應用,綜合性較強,運算量量較大,難度較大.

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