Question

（本小題滿分12分）已知拋物線：和點(diǎn)，若拋物線上存在不同兩點(diǎn)、滿足．

（I）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（II）當(dāng)時，拋物線上是否存在異于的點(diǎn)，使得經(jīng)過三點(diǎn)的圓和拋物線在點(diǎn)處有相同的切線，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1) 即的取值范圍為．

(2) 滿足題設(shè)的點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為 ． 

【解析】

試題分析：解法1：(I)不妨設(shè)A，B，且，∵，

∴．∴，．

根據(jù)基本不等式（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）得

（），即，

∴，即的取值范圍為．

（II）當(dāng)時，由（I求得、的坐標(biāo)分別為、．

假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)（,且），使得經(jīng)過、、三點(diǎn)的圓和拋物線在點(diǎn)處有相同的切線．

設(shè)經(jīng)過、、三點(diǎn)的圓的方程為，

則 

整理得 ．                 ①

∵函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，

∴拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率為，

∴經(jīng)過、、三點(diǎn)的圓在點(diǎn)處的切線斜率為．

∵，∴直線的斜率存在．∵圓心的坐標(biāo)為，

∴，即．      ②

∵，由①、②消去，得． 即．

∵，∴．故滿足題設(shè)的點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為．

解法2：(I)設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，且。

∵，可得為的中點(diǎn)，即．

顯然直線與軸不垂直，設(shè)直線的方程為，即，將代入中，

得．∴ 

∴． 故的取值范圍為．

（II）當(dāng)時，由（1）求得，的坐標(biāo)分別為．    

假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)（且），使得經(jīng)過、、三點(diǎn)的圓和拋物線在點(diǎn)處有相同的切線．

設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，                                                  

∵  ∴ 

即      解得  

∵拋物線在點(diǎn)處切線的斜率為，而，且該切線與垂直，

∴,即 .將,                                                     

代入上式，得,即．

∵且，∴．

故滿足題設(shè)的點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為 ．

考點(diǎn)：拋物線的性質(zhì)運(yùn)用

點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是利用拋物線的方程以及性質(zhì)來分析得到結(jié)論，同時對于探索性問題，一般先假設(shè)，然后分析求解，屬于中檔題。