Question

3．在△ABC中，$sinA=\frac{5}{13}$，$cosB=\frac{3}{5}$，若最大邊長為63，則最小邊長為25．

Answer 1

分析 根據(jù)三角函數(shù)值推出角的范圍，再分類討論得到A是銳角，再根據(jù)兩角和的正弦公式求出sinC，根據(jù)正弦定理即可求出a，問題得以解決．

解答 解：若A為鈍角，
∵sinA=$\frac{5}{13}$＜$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$＞cosB=$\frac{3}{5}$＞$\frac{1}{2}$，
∴150＜A＜180°，30°＜B＜60°，
∴A+B＞180°，矛盾，
故A為銳角，
∵sinA=$\frac{5}{13}$＜$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$＞cosB=$\frac{3}{5}$＞$\frac{1}{2}$，
∴0＜A＜30°＜B＜60°，且cosA=$\frac{12}{13}$，sinB=$\frac{4}{5}$
∴C為鈍角，
∴c最大，最大為63，a最小，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{5}{13}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{12}{13}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{63}{65}$，
由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴a=$\frac{63}{\frac{63}{65}}$×$\frac{5}{13}$=25，故最小為a=25，
故答案為：25

點(diǎn)評 本題考查了同角的三角函數(shù)的關(guān)系和兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式，以及正弦定理，屬于中檔題