Question

18．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=ln（n+1）-a．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=e${\;}^{{a}_{n}}$（e為自然對數(shù)的底數(shù)），定義：$\underset{\stackrel{n}{π}}{k=1}$b_k=b₁•b₂•b₃•…•b_n，求$\underset{\stackrel{n}{π}}{k=1}$b_k．

Answer 1

分析 （1）對a分類討論，利用遞推關(guān)系即可得出．
（2）對a分類討論，利用“累乘求積”即可得出

解答 解：（1）當n=1時，a₁=S₁=ln2-a；當n≥2且n∈N^*時，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=ln（{n+1}）-a-（{lnn-a}）=ln（{n+1}）-a-lnn+a=ln（{n+1}）-lnn=ln\frac{n+1}{n}$，
當a=0時，a₁=ln2，適合此等式，當a≠0時，a₁=ln2-a≠ln2，不適合此等式，
∴當a=0時，${a_n}=ln\frac{n+1}{n}（{n∈{N^*}}）$；當a≠0時，${a_n}=\left\{\begin{array}{l}ln2-a，n=1\\ ln\frac{n+1}{n}，n≥2\end{array}\right.$．
（2）當a=0時，${b_n}={e^{a_n}}={e^{ln\frac{n+1}{n}}}=\frac{n+1}{n}$，
∴$\underset{\stackrel{n}{π}}{k=1}$b_k=b₁•b₂•b₃•…•b_n=$\frac{2}{1}×\frac{3}{2}×\frac{4}{3}$×…×$\frac{n+1}{n}$=n+1．
當a≠0時，${b_n}={e^{a_n}}=\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{e^a}，n=1\\ ln\frac{n+1}{n}，n≥2\end{array}\right.$，
∴$\underset{\stackrel{n}{π}}{k=1}$b_k=b₁•b₂•b₃•…•b_n=$\frac{2}{{e}^{a}}$×$\frac{3}{2}×\frac{4}{3}$×…×$\frac{n+1}{n}$=$\frac{n+1}{{e}^{a}}$．
綜上，$\underset{\stackrel{n}{π}}{k=1}$b_k=$\frac{n+1}{{e}^{a}}$．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、“累乘求積”、對數(shù)運算性質(zhì)，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．