7．在△ABC中，角A，B，C對應(yīng)的邊分別是a，b，c，已知cos2A-3cos（B+C）=1．
（1）求角A的大�。�
（2）若AB=3，AC邊上的中線BD的長為$\sqrt{13}$，求△ABC的面積．

分析 （1）已知等式利用二倍角的余弦函數(shù)公式及誘導公式化簡，整理求出cosA的值，進而求出A的度數(shù)；
（2）在三角形ABD中，利用余弦定理求出AD的長，進而求出AC的長，再利用三角形面積公式求出三角形ABC面積即可．

解答 解：（1）已知等式整理得：2cos2A-1+3cosA=1，即（2cosA-1）（cosA+2）=0，
解得：cosA=$\frac{1}{2}$或cosA=-2（舍去），
∵A為△ABC內(nèi)角，
∴A=$\frac{π}{3}$；
（2）在△ABD中，AB=3，BD=$\sqrt{13}$，cosA=$\frac{1}{2}$，
由余弦定理得：13=9+AD2-3AD，
解得：AD=4（負值舍去），
∴AC=2AD=8，
則S△ABC=$\frac{1}{2}$AB•ACsinA=6$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了余弦定理，三角形面積公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，以及誘導公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．

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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

8．若a=40.5，b=logπ3，c=logπ4，則（　�。�
A．b＞c＞aB．a＞b＞cC．a＞c＞bD．c＞a＞b

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9．如圖，邊長為3的正方形中有一張封閉的曲線圍成的笑臉．在正方形內(nèi)隨機撒一粒豆子，它落在笑臉區(qū)域的概率為$\frac{2}{3}$，則笑臉區(qū)域的面積為（　�。�
A．4B．$\frac{2}{3}$C．6D．無法計算

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6．已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且a=1，b=$\sqrt{3}$，則“A=30°“是“B=60°”的（　�。�
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件

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2．已知函數(shù)f（x）=ex+e-x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）證明：f（x）是R上的偶函數(shù)；
（2）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并證明．

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12．已知一個路口的紅綠燈，紅燈的時間為35秒，黃燈的時間為5秒，綠燈的時間為60秒，老王開車上班要經(jīng)過3個這樣的路口，則老王遇見兩次綠燈的概率為（　�。�
A．$\frac{3}{5}$B．$\frac{13}{20}$C．$\frac{54}{125}$D．$\frac{27}{125}$

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19．給出定義：若m-$\frac{1}{2}$＜x≤m+$\frac{1}{2}$（其中m為整數(shù)），則m叫做離實數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}，即{x}=m．在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)f（x）=x-{x}的三個判斷：
①y=f（x）的定義域是R，值域是（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]；  
②點（k，0）是y=f（x）的圖象的對稱中心，其中k∈Z；
③函數(shù)y=f（x）在（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]上是增函數(shù)．
則上述判斷中所有正確的序號是（　�。�
A．①②B．①③C．②③D．①②③

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16．某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此做了四次試驗，得到的數(shù)據(jù)如表所示：
零件的個數(shù)x（個）2345
加工的時間y（h）2.5344.5
（$\widehat{a}=\overline{y}-\widehat\overline{x}$，$\widehat=\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n（\overline{x}）^{2}}$）
（Ⅰ）在給定的坐標系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖；
（Ⅱ）求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$；
（Ⅲ）試預(yù)測加工10個零件需要多少時間？

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17．如圖，若在三棱柱ABC-A′B′C′中，設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{AA′}$=$\overrightarrow{c}$，M是A′B的中點，點N在CM上，且CN：NM=1：2，用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$表示$\overrightarrow{CM}$、$\overrightarrow{C′N}$．

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