Question

已知橢圓C的右焦點F（

2

，0），直線l：y=kx-1恒過橢圓短軸一個頂點B．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若A（0，1）關于直線l：y=kx-1的對稱點P（不同于點A）在橢圓上，求出l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）通過恒過的定點，求出b，求出c，然后求出a，即可求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）法1：當k=0時，判斷點B（0，-3）不在橢圓上；當k≠0時，設AP：x=-ky+m，代入橢圓方程

x2

3

+y2=1利用額定電流以及對稱知識求出k=±

3

，得到直線方程．
法2：設A（0，1）關于直線l：y=kx-1的對稱點P（x₀，y₀）通過直線l：y=kx-1恒過點B，利用|BA|=|BP|，
求出AB坐標，然后求出直線方程．

解答： 解：（Ⅰ）因為-1=k×0-1，所以直線l：y=kx-1恒過（0，-1），即B（0，-1）
設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由已知可得c=

2

，b=1，所以a²=b²+c²=3，
所以橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1．
（Ⅱ）法1：當k=0時，直線l：y=-1，點B（0，-3）不在橢圓上；
當k≠0時，可設AP：x=-ky+m，代入橢圓方程

x2

3

+y2=1化簡得（k²+3）y²-2kmy+m²-3=0，
yA+yP=

2km

k2+3

，所以xA+xP=-

2k2m

k2+3

+2m=

6m

k2+3

若A，P關于直線l對稱，則其中點(

3m

k2+3

，

km

k2+3

)在直線y=kx-1上
所以

km

k2+3

=

3km

k2+3

-1，即2km=k²+3
又A（0，1）在直線AB：x=-ky+m上，所以m=k，
消m得k²=3，解得k=±

3

，
所以存在直線y=

3

x-1或y=-

3

x-1符合題意．
法2：設A（0，1）關于直線l：y=kx-1的對稱點P（x₀，y₀）
因為直線l：y=kx-1恒過點B，
所以|BA|=|BP|，
所以x02+(y0+1)2=4①
又

x02

3

+y02=1②
聯立①②解得

x0=0 y0=1

或

x0= 3 y0=0

或

x0=- 3 y0=0

因為P不同于點A，所以P(

3

，0)或P(-

3

，0)，
所以存在直線y=

3

x-1或y=-

3

x-1符合題意．

點評：本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的對稱關系的應用，考查直線與圓錐曲線的位置關系．