Question

若直線x=a與函數f（x）=cos2x和g（x）=2sinx的圖象分別交于M，N兩點，則|MN|的最大值為

1. A.
   
2. B.
   1
3. C.
   
4. D.
   3

Answer 1

D
分析：根據題意，|MN|=|cos2x-2sinx|=|2sin²x+2sinx-1|，采用換元法研究關于sinx的二次函數的值域，可得t=2sin²x+2sinx-1的取值范圍為[-，3]，由此即可得到|MN|的最大值．
解答：解：根據題意，得|MN|=|cos2x-2sinx|=|2sin²x+2sinx-1|
令t=2sin²x+2sinx-1=2（sinx+）²-
∵sinx∈[-1，1]
∴當sinx=-時，t有最小值為-；當sinx=1時，t有最大值為3
由此可得t=2sin²x+2sinx-1的取值范圍為[-，3]
∴|MN|=|2sin²x+2sinx-1|在sinx=1時有最大值為3
故選：D
點評：本題給出函數f（x）=cos2x和g（x）=2sinx的圖象，求兩個圖象被直線x=a截得線段長的最大值，著重考查了三角函數的圖象與性質、二次函數求最值等知識，屬于基礎題．