Question

設(shè)集合X是實(shí)數(shù)集R上的子集，如果x₀∈R滿足：對(duì)?a＞0，都?x∈X，使得0＜|x-x₀|＜a，那么稱x₀為集合X的聚點(diǎn)，用Z表示整數(shù)集，則給出下列集合：其中以0為聚點(diǎn)的集合的序號(hào)有

 

（寫(xiě)出所有正確集合的序號(hào)）
①{

n

n+1

|n∈Z，n≥0}；
②R/{0}（R中除去元素0）；
③{

1

n

|n∈Z，n≠0}；
④整數(shù)集Z．

Answer 1

分析：由題中關(guān)于集合聚點(diǎn)的定義，逐個(gè)分析①②③④中元素的性質(zhì)，判斷是否滿足集合聚點(diǎn)的定義，從而得到答案．

解答：解：①中，集合{

n

n+1

|n∈Z，n≥0}中的元素是極限為1的數(shù)列，
除了第一項(xiàng)0之外，其余的都至少比0大

1

2

，
∴在a＜

1

2

時(shí)，不存在滿足0＜|x|＜a的x，
∴0不是集合{

n

n+1

|n∈Z，n≥0}的聚點(diǎn)；
②中R/{0}（R中除去元素0）等價(jià)于{x|x∈R，x≠0}，對(duì)任意的a，都存在x=

a

2

（任意比a小得數(shù)都可以），使得0＜|x|=

a

2

＜a，
∴0是{x|x∈R，x≠0}的聚點(diǎn)，即是R/{0}（R中除去元素0）的聚點(diǎn)；
③集合{

1

n

|n∈Z，n≠0}中的元素是極限為0的數(shù)列，
對(duì)于任意的a＞0，存在n＞

1

a

，使0＜|x|=

a

2

＜a，
∴0是集合{

1

n

|n∈Z，n≠0}的聚點(diǎn)；
④對(duì)于某個(gè)a＜1，比如a=

1

2

，對(duì)任意的x∈Z，都有|x-0|=0或者|x-0|≥1，不可能0＜|x-0|＜0.5，從而0不是整數(shù)集Z的聚點(diǎn)；
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了集合與元素的問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)正確理解新定義中集合的聚點(diǎn)的含義是什么，是易錯(cuò)題．