Question

如圖，正方形OABC的邊長(zhǎng)為2．
（1）在其四邊或內(nèi)部取點(diǎn)P（x，y），且x，y∈Z，求事件：“|OP|＞1”的概率；
（2）在其內(nèi)部取點(diǎn)P（x，y），且x，y∈R，求事件“△POA，△PAB，△PBC，△PCO的面積均大于

2

3

”的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）分析出正方形的四邊和內(nèi)部取點(diǎn)P（x，y），且x，y∈Z的全部基本事件個(gè)數(shù)，及滿足“|OP|＞1”的基本事件個(gè)數(shù)，代入古典概型公式可得事件“|OP|＞1”的概率；
（2）求出滿足條件的所有基本事件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域Ω的面積，及滿足條件“△POA，△PAB，△PBC，△PCO的面積均大于

2

3

的平面區(qū)域面積，代入幾何概型公式，可得事件“△POA，△PAB，△PBC，△PCO的面積均大于

2

3

”的概率．

解答： 解：（1）在正方形的四邊和內(nèi)部取點(diǎn)P（x，y），且x，y∈Z，所有可能的事件是
（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），
（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），
其中滿足|OP|＞1的事件是
（0，2），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），
所以滿足|OP|＞1的概率為

6

9

=

2

3

．
（2）在正方形內(nèi)部取點(diǎn)，其總的事件包含的區(qū)域面積為4，
由于各邊長(zhǎng)為2，所以要使△POA，△PAB，△PBC，△PCO的面積均大于

2

3

，
應(yīng)該三角形以正方形的邊長(zhǎng)為底邊的高大于

2

3

，
所以這個(gè)區(qū)域?yàn)槊總�(gè)邊長(zhǎng)從兩端各去掉

2

3

后剩余的正方形，
其面積為

1

3

×

1

3

=

1

9

，
所以滿足條件的概率為

1

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是幾何概型，及古典概型，其中求出所有基本事件個(gè)數(shù)（對(duì)應(yīng)區(qū)域面積）和滿足條件的基本事件個(gè)數(shù)（對(duì)應(yīng)區(qū)域面積）是解答的關(guān)鍵．