Question

某家具廠有方木料900 m³，五合板600 m²，準(zhǔn)備加工成書桌和書櫥出售，已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料0.1 m³、五合板2 m²，生產(chǎn)每個(gè)書櫥需要方木料0.2 m³、五合板1 m²，出售一張書桌可獲利潤(rùn)80元，出售一個(gè)書櫥可獲利潤(rùn)120元，如果只安排生產(chǎn)書桌，可獲利潤(rùn)多少？如果只安排生產(chǎn)書櫥，可獲利潤(rùn)多少？怎樣安排生產(chǎn)時(shí)可使所得利潤(rùn)最大？

Answer 1

答案：
解析：

探究：先將已知數(shù)據(jù)列成下表 　　設(shè)生產(chǎn)書桌x張，生產(chǎn)書櫥y張，獲利潤(rùn)為z元． 　�、僭诘谝粋�(gè)問題中，即只生產(chǎn)書桌，則z＝80x，約束條件為 　　 　　∴最多生產(chǎn)300張書桌，獲利潤(rùn)z＝24000元 　　這樣安排生產(chǎn)，五合板先用光，方木料只用了150 m3，還有750 m3沒派上用場(chǎng)． 　�、谠诘诙�個(gè)問題中，即只生產(chǎn)書櫥，則z＝120y，約束條件是 　　 　　∴最多生產(chǎn)600張書櫥，獲利潤(rùn)z＝72000元 　　這樣安排生產(chǎn)，五合板也全用光，方木料用去了300 m3，仍有600 m3沒派上用場(chǎng)，獲利潤(rùn)比只生產(chǎn)書桌多了48000元． 　�、墼诘谌齻�(gè)問題中，即怎樣安排生產(chǎn)，可獲利潤(rùn)最大？ 　　目標(biāo)函數(shù)為z＝80x＋120y，約束條件為 　　 　　對(duì)此，我們用圖解法求解． 　　先作出可行域，如圖陰影部分． 　　80x＋120y＝t 　　t1＝0時(shí)得直線l0∶2x＋3y＝0與l0平行的直線l1過可行域內(nèi)的點(diǎn)M(0，600)．因?yàn)榕cl0平行的過可行域內(nèi)的點(diǎn)的所有直線中，l1距原點(diǎn)最遠(yuǎn)，所以最優(yōu)解為x＝0，y＝600，即此時(shí)zmax＝0×80＋120×600＝72000． 　　因此，只生產(chǎn)書櫥600張可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是72000元． 　　為什么會(huì)出現(xiàn)只生產(chǎn)書櫥，可獲最大利潤(rùn)的情形呢？第一，書櫥比書桌價(jià)格高，因此應(yīng)該盡可能多生產(chǎn)書櫥；第二，生產(chǎn)一張書櫥只需要五合板1 m2，生產(chǎn)一張書桌卻需要五合板2m2，按家具廠五合板的存有量600 m2，可生產(chǎn)書櫥600張，若同時(shí)又生產(chǎn)書桌，則生產(chǎn)一張書桌就要減少兩張書櫥，顯然這不合算；第三，生產(chǎn)書櫥的另一種材料，即方木料是足夠供應(yīng)的，家具廠方木料存有量為900 m3，而生產(chǎn)600張書櫥只需要方木料300 m3． 　　這是一個(gè)特殊的線性規(guī)劃問題，下面我們改變這個(gè)問題的個(gè)別條件，再來研究它的解法． 　　將這個(gè)問題中方木料存有量改為90 m3，其他條件不變．則 　　 　　作出可行域，如圖陰影部分，且過可行域內(nèi)點(diǎn)M(100，400)而平行于l0∶2x＋3y＝0的直線l1離原點(diǎn)的距離最大，所以最優(yōu)解為(100，400)，這時(shí)z＝80×100＋120×400＝56000(元)． 　　結(jié)論：故生產(chǎn)書桌100、書櫥400張，可獲最大利潤(rùn)56000元．