Question

15．如圖，沿等腰直角三角形ABC的中位線(xiàn)DE，將平面ADE折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，并得到四棱錐A-BCDE．
（Ⅰ）求證：平面ABC⊥平面ACD；
（Ⅱ）M是棱CD的中點(diǎn)，過(guò)M的與平面ABC平行的平面α，設(shè)平面α截四棱錐A-BCDE所得截面面積為S₁，三角形ABC的面積為S₂，試求S₁：S₂的值．

Answer 1

分析 （1）AD⊥DE，平面ADE⊥平面BCDE，根據(jù)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理得AD⊥平面BCDE，所以AD⊥BC，又CD⊥BC，根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理BC⊥平面ACD，BC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ACD
（2）由于平面α∥平面ABC，故平面ACD與平面α的交線(xiàn)MQ∥AC，M是CD的中點(diǎn)，故Q是AD的中點(diǎn)；同理平面BCDE與平面α的交線(xiàn)MN∥BC，N為BE的中點(diǎn)；平面ABE的交線(xiàn)NP∥AB，P為AE的中點(diǎn)，連接PQ即為平面α與平面ADE的交線(xiàn)，故平面α與四棱錐A-BCDE各個(gè)面的交線(xiàn)所圍成多邊形就是四邊形MNPQ，進(jìn)一步觀察可知四邊形MNPQ是直角梯形，進(jìn)而由比例關(guān)系可以求得截面面積與△ABC的面積之比．

解答 解：（1）∵AD⊥DE，平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE=DE，
∴AD⊥平面BCDE，
∴AD⊥BC，
又∵CD⊥BC，AD∩CD=D，
∴BC⊥平面ACD，
又∵BC?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ACD
（2）∵平面α∥平面ABC，設(shè)平面ACD與平面α的交線(xiàn)為MQ，
∴MQ∥AC，
又∵M(jìn)是CD的中點(diǎn)，
∴Q是AD的中點(diǎn)；
同理：設(shè)平面BCDE與平面α的交線(xiàn)為MN，
∴MN∥BC，
又∵M(jìn)是CD的中點(diǎn)，
∴N為BE的中點(diǎn)；
同理：平面ABE的交線(xiàn)NP∥AB，P為AE的中點(diǎn)，
連接PQ即為平面α與平面ADE的交線(xiàn)，故平面α與四棱錐A-BCDE各個(gè)面的交線(xiàn)所圍成多邊形是圖中的四邊形MNPQ，
由于PQ∥DE，DE∥MN，故PQ∥MN，根據(jù)（1）BC⊥AC，由MN∥BC，MQ∥AC，故MQ⊥MN，即四邊形MNPQ′是直角梯形．
設(shè)CM=a，則MQ=$\sqrt{2}$a，MN=3a，PQ=a，BC=4a，AC=2$\sqrt{2}$a，
故四邊形MNPQ的面積是$\frac{a+3a}{2}×\sqrt{2}a$=$2\sqrt{2}{a}^{2}$，三角形ABC的面積是$\frac{1}{2}×4a×2\sqrt{2}a$=4$\sqrt{2}$a²，
故平面α與四棱錐A-BCDE各個(gè)面的交線(xiàn)所圍成多邊形的面積與三角形ABC的面積之比為1：2．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查空間線(xiàn)面關(guān)系、多邊形的面積計(jì)算等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．