Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，S_n=na_n-n（n-1），n∈N^*．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）是否存在自然數n，使S₁+++…+=63？若存在，求出n的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵S_n=na_n-n（n-1），
∴n≥2時，S_n-1=（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2），
∴兩式相減可得：a_n-a_n-1=3，
∴數列{a_n}是首項為1，公差為3的等差數列，
∴a_n=1+（n-1）•3=3n-2；
（2）S_n=na_n-n（n-1）=，∴=
∴數列{}是以1為首項，為公差的等差數列
∴S₁+++…+=n+=
令=63，則n=9．
分析：（1）再寫一式，兩式相減，可得a_n-a_n-1=3，即數列{a_n}是首項為1，公差為3的等差數列，由此能求出數列{a_n}的通項公式；
（2）確定數列{}是以1為首項，為公差的等差數列，利用等差數列的求和公式，即可求得結論．
點評：本題考查數列遞推式，考查等差數列的判定，考查學生的計算能力，屬于中檔題．