Question

【題目】如圖所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，側(cè)面ABB1A1為菱形，∠DAB=∠DAA1 ．

（1）求證：A1B⊥AD；
（2）若AD=AB=2BC，∠A1AB=60°，點(diǎn)D在平面ABB1A1上的射影恰為線段A1B的中點(diǎn)，求平面DCC1D1與平面ABB1A1所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：通過(guò)條件可知 = 、∠DAB=∠DAA1，利用 =即得A1B⊥AD；
（2）解：設(shè)線段A1B的中點(diǎn)為O，連接DO、AB1，

由題意知DO⊥平面ABB1A1．

因?yàn)閭?cè)面ABB1A1為菱形，所以AB1⊥A1B，

故可分別以射線OB、射線OB1、射線OD為x軸、y軸、z軸

的正方向建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，如圖所示．

設(shè)AD=AB=2BC=2a，由∠A1AB=60°可知|0B|=a， ，

所以 =a，從而A（0， a，0），B（a，0，0），

B1（0， a，0），D（0，0，a），所以 = =（﹣a， a，0）．

由 可得C（a， a， a），所以 =（a， a，﹣ a），

設(shè)平面DCC1D1的一個(gè)法向量為 =（x0，y0，z0），

由 = =0，得 ，

取y0=1，則x0= ，z0=3 ，所以 =（ ，1，3 ）．

又平面ABB1A1的法向量為 =D（0，0，a），

所以 = = = ，

故平面DCC1D1與平面ABB1A1所成銳二面角的余弦值為 ．

【解析】（1）通過(guò)已知條件易得 = 、∠DAB=∠DAA1 ， 利用 =0即得A1B⊥AD；（2）通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，平面DCC1D1與平面ABB1A1所成銳二面角的余弦值即為平面ABB1A1的法向量與平面DCC1D1的一個(gè)法向量的夾角的余弦值，計(jì)算即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行．