Question

若函數f(x)=log

1

2

(

1+tx

1+x

)(t≠1)是奇函數．
（Ⅰ）求t的值；
（Ⅱ）求f（x）的定義域，并判斷f（x）的單調性；
（Ⅲ）解關于a的不等式f（a-1）+f（2a-1）≤0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（-x）+f（x）=0，可得（t²-1）x²=0，該式對定義域內的x恒成立，故t²=1，又t≠1，可得t的值．
（Ⅱ）當t=-1時，f（x）的定義域為（-1，1）．又f(x)=log

1

2

(

1-x

1+x

)=log

1

2

(-1+

2

1+x

)，函數y=-1+

2

1+x

在（-1，1）上是減函數，再由復合函數的單調性判斷可知f（x）在區(qū)間（-1，1）上單調性．
（Ⅲ）f（a-1）+f（2a-1）≤0等價于f（a-1）≤f（1-2a），結合（Ⅰ）（Ⅱ）可得：

-1＜a-1＜1 -1＜1-2a＜1 a-1≥1-2a

，由此解得a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）由函數f(x)=log

1

2

(

1+tx

1+x

)(t≠1)是奇函數，可得f（-x）+f（x）=0，可得（t²-1）x²=0，該式對定義域內的x恒成立，
故t²=1，又t≠1，故t=-1．…（3分）
（Ⅱ）當t=-1時，f（x）的定義域為（-1，1）．又f(x)=log

1

2

(

1-x

1+x

)=log

1

2

(-1+

2

1+x

)，函數y=-1+

2

1+x

在（-1，1）上是減函數，
由復合函數的單調性判斷可知：f（x）在區(qū)間（-1，1）上單調遞增．…（7分）
（Ⅲ）f（a-1）+f（2a-1）≤0等價于f（a-1）≤f（1-2a），結合（Ⅰ）（Ⅱ）可得：

-1＜a-1＜1 -1＜1-2a＜1 a-1≥1-2a

，解得：a∈[

2

3

，1)．…（12分）

點評：本題主要考查函數的奇偶性的應用，對數函數的圖象和性質，利用函數的單調性解不等式，屬于中檔題．