Question

（2012•唐山二模）直線l與雙曲線C：

x 2

a 2

-

y 2

b 2

=1(a＞0，b＞0)交于A、B兩點(diǎn)，M是線段AB的中 點(diǎn)，若l與OM （O是原點(diǎn)）的斜率的乘積等于1，則此雙曲線的離心率為（　　）

• A．2
• B．

  2

• C．3
• D．

  3

Answer 1

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由M是線段AB的中點(diǎn)，知M（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分別代入雙曲線C：

x 2

a 2

-

y 2

b 2

=1(a＞0，b＞0)，得

x12 a2 - y12 b2 =1 x22 a2 - y22  b2 =1

，故b²（x₁+x₂）（x₁-x₂）-a²（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，直線l的斜率kl=

b2(x1 +x2)

a2(y1+y2)

，由M（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），O（0，0），知OM的斜率kOM=

y1+y2

x1+x2

，由l與OM的斜率的乘積等于1，知a=b，由此能求出此雙曲線的離心率．

解答：解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵M(jìn)是線段AB的中點(diǎn)，∴M（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分別代入雙曲線C：

x 2

a 2

-

y 2

b 2

=1(a＞0，b＞0)，
得

x12 a2 - y12 b2 =1 x22 a2 - y22  b2 =1

，
∴b²（x₁+x₂）（x₁-x₂）-a²（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴直線l的斜率kl=

b2(x1 +x2)

a2(y1+y2)

，
∵M(jìn)（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），O（0，0），
∴OM的斜率kOM=

y1+y2

x1+x2

，
∵l與OM的斜率的乘積等于1，
∴

b2(x1+x2)

a2(y1+y2)

•

y1+y2

x1+x2

=

a2

b2

=1，
∴a=b，
∴此雙曲線的離心率e=

2

．
故選B．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．