(1)解:函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+∞)
求導(dǎo)函數(shù),可得f'(x)=lnx+1,…(1分)
當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/46310.png)
單調(diào)遞減,
當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/46311.png)
單調(diào)遞增 …(2分)
①
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33016.png)
,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33017.png)
時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33018.png)
; …(4分)
②
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33019.png)
,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33020.png)
時,f(x)在[t,t+2]上單調(diào)遞增,f(x)
min=f(t)=tlnt; …(5分)
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/68383.png)
…(6分)
(2)證明:由(1)可知f(x)=xlnx(x∈(0,+∞))的最小值是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13684.png)
,當(dāng)且僅當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/46312.png)
時取到.
設(shè)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/68390.png)
,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/68391.png)
,
∵x∈(0,1)時,m′(x)>0,x∈(1,+∞)時,m′(x)<0,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/68392.png)
,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取到…(10分)
從而對一切x∈(0,+∞),都有
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/149584.png)
成立. …(12分)
分析:(1)求出f′(x),確定函數(shù)的單調(diào)性,再結(jié)合[t,t+2](t>0)決定函數(shù)在[t,t+2](t>0)上的增減性,然后得到函數(shù)的最小值即可;
(2)分別求出左右兩邊對應(yīng)函數(shù)的最值,根據(jù)最值的關(guān)系即可證得結(jié)論.
點(diǎn)評:本題重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用,考查利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性,求函數(shù)的最值,其中不等式的證明的關(guān)鍵是判斷函數(shù)的最值關(guān)系.