Question

已知橢圓C：的一條準(zhǔn)線方程為l：x=-，且左焦點(diǎn)F到的l距離為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)F的直線交橢圓C于兩點(diǎn)A、B、交l于點(diǎn)M，若，，證明λ₁+λ₂為定值．

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意有，解方程組得
∴橢圓C的方程為+y²=1．
（Ⅱ）依題意可知直線AB的斜率存在，
當(dāng)斜率為0時(shí)，直線y=0和橢圓交于A（-，0），B（，0），和直線l交于M（-，0）點(diǎn)，
則易知λ₁+λ₂=0．
當(dāng)斜率不為0時(shí)，可設(shè)直線AB方程為x=my-2（m≠0），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（-，-），由得（m²+5）y²-4my-1=0，
由根與系數(shù)的關(guān)系得y₁+y₂=，y₁y₂=-，
又∵∴y₁+=-λ₁y₁，λ₁=--1，同理λ₂=--1
∴λ₁+λ₂=-2-•=-2-（-4m）=0
∴λ₁+λ₂為定值
綜上所述λ₁+λ₂為定值
分析：（Ⅰ）利用準(zhǔn)線方程求得a和c的關(guān)系式，左焦點(diǎn)F到的l距離求得a和c的另一關(guān)系式，進(jìn)而與a²=b²+c²聯(lián)立方程求得a，b，則橢圓的方程可得．
（Ⅱ）先看當(dāng)斜率為0時(shí)，可求得A，B和M的坐標(biāo)，則λ₁+λ₂可求得；再看當(dāng)斜率不為0時(shí)，可設(shè)直線AB方程與橢圓的方程聯(lián)立，求得y₁+y₂和y₁y₂的表達(dá)式，分別求得λ₁和λ₂的表達(dá)式，則λ₁+λ₂的值可求．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系．直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，平時(shí)應(yīng)作為重點(diǎn)來復(fù)習(xí)．