定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f(3)=tan
3
且對任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).
(Ⅰ)求證f(x)為奇函數(shù);
(Ⅱ)若f(k•3x)+f(3x-9x-2)<0對任意x∈R恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.
分析:(Ⅰ)通過賦值,令x=y=0得f(0)=0;再令y=-x可得f(x)+f(-x)=0,從而可證f(x)為奇函數(shù);
(Ⅱ)利用f(3)=
3
>0=f(0),f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)知,f(x)在R上是增函數(shù),再利用f(x)是奇函數(shù),可將f(k•3x)+f(3x-9x-2)<0轉(zhuǎn)化為k•3x<-3x+9x+2,通過分離參數(shù)k,利用恒成立問題,借助基本不等式即可求得k的取值范圍.
解答:(Ⅰ)證明:令x=y=0得:f(0)=f(0)+f(0),
∴f(0)=0;
再令y=-x得:f(x)+f(-x)=f(0)=0,
∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)為R上的奇函數(shù),f(0)=0;
(Ⅱ))∵f(3)=tan
3
=
3
>0,即f(3)>f(0),
又f(x)在R上是單調(diào)函數(shù),
∴f(x)在R上是增函數(shù),又f(x)是奇函數(shù),
∴f(k•3x)+f(3x-9x-2)<0?f(k•3x)<-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2),
∴k•3x<-3x+9x+2,
令t=3x>0,分離系數(shù)得:k<-1+t+
2
t
,
問題等價于k<-1+t+
2
t
對任意t>0恒成立.
∵-1+t+
2
t
≥-1+2
2
,
∴k<-1+2
2

∴實數(shù)k的取值范圍為(-∞,-1+2
2
).
點(diǎn)評:本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用,著重考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的判定,函數(shù)單調(diào)的判定是難點(diǎn),考查等價轉(zhuǎn)化思想與綜合運(yùn)算求解能力,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
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15、已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足:存在實數(shù)x0,使得對于任意實數(shù)x1,x2,總有f(x0x1+x0x2)=f(x0)+f(x1)+f(x2)恒成立,則(i)f(1)+f(0)=
0
(ii)x0的值為
1

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已知函數(shù)f(x)是定義在R上的單調(diào)函數(shù)滿足f(-3)=2,,且對任意的實數(shù)a∈R有f(-a)+f(a)=0恒成立.
(Ⅰ)試判斷f(x)在R上的單調(diào)性,并說明理由;
(Ⅱ)解關(guān)于x的不等式f(
2-xx
)<2

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定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f(2)=
32
,且對任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).
(Ⅰ)求證:f(x)為奇函數(shù);
(Ⅱ)若f(k•3x)+f(3x-9x-2)<0對任意x∈R恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)y=f(x),當(dāng)x<0時,f(x)>1,且對任意的實數(shù)x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y),
(1)求f(0),并寫出適合條件的函數(shù)f(x)的一個解析式;
(2)數(shù)列{an}滿足a1=f(0)且f(an+1)=
1
f(-2-an)
(n∈N+)
,
①求通項公式an的表達(dá)式;
②令bn=(
1
2
)an,Sn=b1+b2+…+bn,Tn=
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
,試比較Sn
4
3
Tn
的大小,并加以證明;
③當(dāng)a>1時,不等式
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
12
35
(log a+1x-log ax+1)
對于不小于2的正整數(shù)n恒成立,求x的取值范圍.

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(2013•廣州三模)已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x),存在實數(shù)x0使得對任意實數(shù)x1,x2,總有f(x0x1+x0x2)=f(x0)+f(x1)+f(x2)恒成立.
(1)求x0的值;
(2)若f(x0)=1,且對任意的正整數(shù)n.有an=
1
f(n)
,bn=f(
1
2n
)+1
,記Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1,Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1,比較
4
3
Sn
與Tn的大小關(guān)系,并給出證明.

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