Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=3a_n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²+2n+1．
（I）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（I）首先根據(jù)a_n+1=3a_n可知數(shù)列{a_n}是公比為3的等比數(shù)列，然后根據(jù)公比和首項(xiàng)即可求出{a_n}的通項(xiàng)公式；當(dāng)n≥2時(shí)，根據(jù)b_n=S_n-S_n-1求通項(xiàng)公式，然后驗(yàn)證b₁=S₁=4，不符合上式，因此數(shù)列{b_n}是分段數(shù)列；
（Ⅱ）先寫出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，然后計(jì)算出T_n-3T_n，進(jìn)而求出T_n．

解答：解：（Ⅰ）由題意知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為a_n=3^n-1；
數(shù)列{b_n}滿足b₁=S₁=4，n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1=2n+1．所以，數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為bn=

4，(n=1) 2n+1．(n≥2)

（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cn=anbn=

4，(n=1) (2n+1)•3n-1，(n≥2)

T_n=4+5•3+7•3²+…+（2n+1）•3^n-1∴3T_n=12+5•3²+7•3³+9•3⁴+…+（2n+1）•3ⁿ，（8分）
兩式相減得-2Tn=7+2(32+33+34++3n-1)-(2n+1)•3n=7+2

9(3n-2-1)

3-1

-(2n+1)•3n=-2-2n•3n
所以T_n=n•3ⁿ+1，（n≥2），
綜上，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=n•3ⁿ+1，（n∈N₊）．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列通項(xiàng)公式以及數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，對于等差數(shù)列與等比數(shù)列乘積形式的數(shù)列，一般采取錯(cuò)位相減的方法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，這種方法要熟練掌握．