Question

19．四面體ABCD的各棱長(zhǎng)均為2，且四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為（　�。�

• A． 6π
• B． $\sqrt{6}π$
• C． $\frac{3}{2}π$
• D． 24π

Answer 1

分析 把四面體補(bǔ)成正方體，兩者的外接球是同一個(gè)，求出正方體的棱長(zhǎng)，然后求出正方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)，就是球的直徑，即可求出表面積．

解答 解：將正四面體補(bǔ)成正方體，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，
則由正四面體的邊長(zhǎng)即為正方體的面對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)，
即有$\sqrt{2}$a=2，則有a=$\sqrt{2}$，
則有正方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為：$\sqrt{3}$a=$\sqrt{6}$，
由球的直徑即為正方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)，即2R=$\sqrt{6}$，
則此球的表面積為：S=4πR²=6π．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間想象能力，將正四面體的外接球轉(zhuǎn)化為正方體外接球，使得問(wèn)題的難度得到降低，問(wèn)題得到解決，注意正方體的對(duì)角線(xiàn)就是球的直徑．