Question

如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在平面互相垂直，AD⊥CD，AB//CD，AB=AD=，點(diǎn)M在線段EC上且不與E、C垂合.

（1）當(dāng)點(diǎn)M是EC中點(diǎn)時(shí)，求證：BM//平面ADEF；

（2）當(dāng)平面BDM與平面ABF所成銳二面角的余弦值為時(shí)，求三棱錐M—BDE的體積.

 

Answer 1

【答案】

（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，由題意計(jì)算平面的法向量，由法向量與向量垂直，從而證明了BM//平面ADEF；（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由平面BDM與平面ABF所成銳二面角的余弦值為，分別計(jì)算兩個(gè)半平面的法向量，代入夾角公式，從而得到點(diǎn). 三棱錐M—BDE中由于到面的距離容易得知，故以為頂點(diǎn)，再計(jì)算出底面三角形，利用棱錐的體積公式即可得到所求.

試題解析：（1）以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系

則

的一個(gè)法向量

，.即        4分

（2）依題意設(shè)，設(shè)面的法向量

則，

令，則，面的法向量

，解得

為EC的中點(diǎn)，，到面的距離

      12分

考點(diǎn)：1.線面平行的判定；2.二面角；3.三棱錐的體積.