(Ⅰ)求證:PD⊥BC;
(Ⅱ)若AB=6,PC:PC=6
,求二面角P-AD-C的大小;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求異面直線PB與DE所成角的余弦值.
解法一:(Ⅰ)在菱形ABCD中,連結(jié)DB
∵∠BCD=60°,則△BCD為等邊三角形
∵點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)
∴DE⊥BC
∵PO⊥平面ABCD
∴OD是斜線PD在底面ABCD內(nèi)的射影
∴PD⊥BC
(Ⅱ)∵四邊形ABCD是菱形 ∴AD∥BC
由(Ⅰ)PD上AD DE⊥AD
∴∠ODP是二面角P-AD-C的平面角
∵AB=6,∴DE=9,AC=18
由
∴OD=OC=6,
∴PD=PC=6
在直角三角形POD中,cosPDO=
∴∠PDO=即二面角P-AD-C為
(Ⅲ)取AD中點(diǎn)F,連BF、PF
由點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn),所以DE∥BF,且DE=BF=9
∴∠PBF或其補(bǔ)角是異面直線PB與DE所成角
在直角三角形PDF中,PF=3,PB=PC=6
在∠PBF中,cosPBF=
解法二:(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)在菱形ABCD中,AC⊥DB
由(Ⅰ)△BCD為等邊三角形
∵點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn),DE交AC于O
∴點(diǎn)O是△BCD重心
∵AB=6,∴OD=OC=6,
∵PC=6 ∴PO=6.
過(guò)點(diǎn)O作AD平行線交AB于F,以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的坐標(biāo)系
∴A(,-6,0),D(
,3,0),C(
,3,0)D(0,-6,0),P(0,0,6).(7分)
∴=(
,0,0),
=(0,-6,-6)
設(shè)平面PAD的法向量為s=(a,m,n),則
∴
∴不妨取s=(0,-1,1)
=(0,0,6)是平面ADC法向量
∴cos<s,>=
∴二面角P-AD-C的大小為
(Ⅲ)由(Ⅱ)點(diǎn)E(0,3,0)
∴=(
,3,-6)
=(0,9,0)
∴cos<,
>=
即異面直線PB與DE所成角的余弦值為.
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