已知四棱錐P—ABCD的底面是菱形,∠BCD=60°,點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn).AC與DE交于點(diǎn)O,PO⊥平面ABCD.

(Ⅰ)求證:PD⊥BC;

(Ⅱ)若AB=6,PC:PC=6,求二面角P-AD-C的大小;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求異面直線PB與DE所成角的余弦值.

解法一:(Ⅰ)在菱形ABCD中,連結(jié)DB

∵∠BCD=60°,則△BCD為等邊三角形

∵點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)

∴DE⊥BC

∵PO⊥平面ABCD

∴OD是斜線PD在底面ABCD內(nèi)的射影

∴PD⊥BC 

(Ⅱ)∵四邊形ABCD是菱形   ∴AD∥BC

由(Ⅰ)PD上AD  DE⊥AD

∴∠ODP是二面角P-AD-C的平面角

∵AB=6,∴DE=9,AC=18

∴OD=OC=6,

∴PD=PC=6

在直角三角形POD中,cosPDO=

∴∠PDO=即二面角P-AD-C為

(Ⅲ)取AD中點(diǎn)F,連BF、PF

由點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn),所以DE∥BF,且DE=BF=9

∴∠PBF或其補(bǔ)角是異面直線PB與DE所成角

在直角三角形PDF中,PF=3,PB=PC=6

在∠PBF中,cosPBF=

解法二:(Ⅰ)同解法一

(Ⅱ)在菱形ABCD中,AC⊥DB

由(Ⅰ)△BCD為等邊三角形

∵點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn),DE交AC于O

∴點(diǎn)O是△BCD重心

∵AB=6,∴OD=OC=6,

∵PC=6  ∴PO=6.

過(guò)點(diǎn)O作AD平行線交AB于F,以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的坐標(biāo)系

∴A(,-6,0),D(,3,0),C(,3,0)D(0,-6,0),P(0,0,6).(7分)

=(,0,0),=(0,-6,-6)

設(shè)平面PAD的法向量為s=(a,m,n),則

∴不妨取s=(0,-1,1)

=(0,0,6)是平面ADC法向量

∴cos<s,>=

∴二面角P-AD-C的大小為

(Ⅲ)由(Ⅱ)點(diǎn)E(0,3,0)

=(,3,-6)  =(0,9,0)

∴cos<,>=

即異面直線PB與DE所成角的余弦值為


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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,e為PC的中點(diǎn),F(xiàn)為AD的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明EF∥平面PAB;
(Ⅱ)證明EF⊥平面PBC;
(III)點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn),PM與平面ABCD所成的角始終為45°,求動(dòng)直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積.

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(1)求證:PO⊥平面ABCD;
(2)求證:PA⊥BD
(3)若二面角D-PA-O的余弦值為
10
5
,求PB的長(zhǎng).

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已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,E為BC中點(diǎn),AE與BD交于O點(diǎn),AB=BC=2CD=2,BD⊥PE.
(1)求證:平面PAE⊥平面ABCD; 
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5
2
,PO=2,求四棱錐P-ABCD的體積.

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如圖,已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,e為PC的中點(diǎn),F(xiàn)為AD的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明EF∥平面PAB;
(Ⅱ)證明EF⊥平面PBC;
(III)點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn),PM與平面ABCD所成的角始終為45°,求動(dòng)直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積.

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