Question

已知函數(shù)f(x)＝3^x，且f(a＋2)＝18，g(x)＝3a^x－4^x的定義域?yàn)閇0，1]．

(1)求g(x)的解析式；

(2)求g(x)的單調(diào)區(qū)間，確定其增減性并試用定義證明；

(3)求g(x)的值域．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵f(x)＝3x，∴f(a＋2)＝3a+2＝18．∴3a＝2． 　　∴g(x)＝3ax－4x＝(3a)x－4x． 　　∴g(x)＝2x－4x． 　　(2)令t＝2x．∵x∈[0，1]，且函數(shù)t＝2x在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，∴t∈[1，2]． 　　則y＝t－t2＝－(t2－t)＝－(t)2＋，t∈[1，2]． 　　∵函數(shù)t＝2x在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，函數(shù)y＝t－t2在[1，2]上單調(diào)遞減， 　　∴函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[0，1]． 　　下面給出證明： 　　任取x1、x2∈[0，1]，且x1＜x2，則 　　g(x2)－g(x1)＝ 　�。�， 　　∵0≤x1＜x2≤1，∴，且1≤＜2，1＜≤2． 　　∴2＜＜4．∴－3＜1＜－1． 　　∴()(1－)＜0． 　　∴g(x2)＜g(x1)． 　　∴g(x1)＞g(x2)． 　　∴函數(shù)g(x)在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減． 　　(3)∵g(x)在[0，1]上是減函數(shù)，∴g(1)≤g(x)≤g(0)． 　　∴g(1)＝21－41＝－2，g(0)＝20－40＝0． 　　∴－2≤g(x)≤0． 　　∴函數(shù)g(x)的值域?yàn)閇－2，0]．

提示：

此題是一道有關(guān)函數(shù)的概念、函數(shù)性質(zhì)及應(yīng)用的推理、證明的綜合題，做這類(lèi)題目是可以從第(1)問(wèn)尋找突破口，另外還要注意后面的各問(wèn)分別以前面的(1)問(wèn)作為提示或鋪墊． 　　(1)要求函數(shù)g(x)的解析式，關(guān)鍵是把式中a的值求出來(lái)，而這可以由已知條件f(a＋2)＝18解得，從而求出g(x)的解析式； 　　(2)利用復(fù)合函數(shù)得單調(diào)性求g(x)的單調(diào)區(qū)間，并利用函數(shù)單調(diào)性得定義進(jìn)行證明； 　　(3)利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0，1]上的值域．