Question

【題目】某果園種植“糖心蘋果”已有十余年,為了提高利潤,該果園每年投入一定的資金,對(duì)種植采摘包裝宣傳等環(huán)節(jié)進(jìn)行改進(jìn).如圖是2009年至2018年,該果園每年的投資金額(單位:萬元)與年利潤增量(單位:萬元)的散點(diǎn)圖:

該果園為了預(yù)測2019年投資金額為20萬元時(shí)的年利潤增量,建立了關(guān)于的兩個(gè)回歸模型;

模型①:由最小二乘公式可求得與的線性回歸方程:;

模型②:由圖中樣本點(diǎn)的分布,可以認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在曲線:的附近,對(duì)投資金額做交換,令,則,且有,,,.

(1)根據(jù)所給的統(tǒng)計(jì)量,求模型②中關(guān)于的回歸方程;

(2)分別利用這兩個(gè)回歸模型,預(yù)測投資金額為20萬元時(shí)的年利潤增量(結(jié)果保留兩位小數(shù));

(3)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù),比較兩種模型的相關(guān)指數(shù),并說明誰的預(yù)測值精度更高更可靠.

回歸模型	模型①	模型②
回歸方程
	102.28	36.19

附:樣本的最小乘估計(jì)公式為,;

相關(guān)指數(shù).

參考數(shù)據(jù):,.

Answer 1

【答案】(1).(2)(萬元)(3)答案見解析

【解析】

(1)根據(jù)題設(shè)中的數(shù)據(jù)和公式，求得 的值，即可得到回歸直線的方程；

(2)把時(shí),代入回歸直線的方程，即可求得求得模型①的年利潤增量的預(yù)測值和模型②的年利潤增量的預(yù)測值；

(3)由,可得模型①的小于模型②,說明回歸模型②刻畫的擬合效果更好，得到結(jié)論.

(1)由題意，知,,可得,,

又由,

則

所以,模型②中關(guān)于的回歸方程.

(2)當(dāng)時(shí),模型①的年利潤增量的預(yù)測值為(萬元),

當(dāng)時(shí),模型②的年利潤增量的預(yù)測值為

(萬元),

(3)由表格中的數(shù)據(jù),可得,即,

所以模型①的小于模型②,說明回歸模型②刻畫的擬合效果更好,

所以當(dāng)時(shí),模型②的預(yù)測值比模型①的預(yù)測值,精度更高更可靠.