Question

2．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx，a，b∈R．
（1）若f（1）=2且f（x）＞0的解集為（m，m+2）（m為實數(shù)），求f（x）解析式；
（2）若1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，求f（-2）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用f（1）=2且f（x）＞0的解集為（m，m+2），可得$\left\{\begin{array}{l}{a+b=2}\\{-\frac{a}-0=2}\end{array}\right.$，求出a，b，即可求f（x）解析式；
（2）要求f（-2）的取值范圍，解題的思路為：由f（x）關(guān)系式推出f（-2）與f（1）和f（-1）的關(guān)系，再利用f（1）和f（-1）的范圍，即可得f（-2）的范圍．

解答 解：（1）∵f（1）=2且f（x）＞0的解集為（m，m+2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=2}\\{-\frac{a}-0=2}\end{array}\right.$，∴a=-2．b=4，
∴f（x）=-2x²+4x；
（2）設(shè)f（-2）=mf（-1）+nf（1）（m、n為待定系數(shù)），
則4a-2b=m（a-b）+n（a+b）．
即4a-2b=（m+n）a+（n-m）b．
于是得$\left\{\begin{array}{l}{m+n=4}\\{n-m=-2}\end{array}\right.$，解得m=3，n=1，
∴f（-2）=3f（-1）+f（1）．
又∵1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，
∴5≤3f（-1）+f（1）≤10，
故5≤f（-2）≤10．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)解析式的求解，考查范圍的確定，對于（2）由a＜f₁（x₁，y₁）＜b，c＜f₂（x₁，y₁）＜d，求g（x₁，y₁）的取值范圍，可利用待定系數(shù)法解決，即設(shè)g（x₁，y₁）=pf₁（x₁，y₁）+qf₂（x₁，y₁），用恒等變形求得p，q，再利用不等式的性質(zhì)求得g（x₁，y₁）取值范圍．