Question

已知橢圓

x2

10

+y2=1的焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P在橢圓上且

PF1

•

PF2

=0，則點(diǎn)P到x軸的距離為（　�。�

• A．

  2

  3

• B．

  1

  3

• C．

  1

  6

• D．

  3

Answer 1

分析：由

PF1

•

PF2

=0得

PF1

⊥

PF2

，根據(jù)題意算出橢圓的焦距

|F1F2|

 =6，利用勾股定理得

|PF1|

2+

|PF2|

2=

|F1F2|

2=36，由橢圓的定義得

|PF1|

 +

|PF2|

 =2a=2

10

，兩式聯(lián)解算出

|PF1|

 •

|PF2|

 =2，從而算出△PF₁F₂的面積為S=1．設(shè)d為點(diǎn)P到x軸的距離，則△PF₁F₂的面積S=

1

2

|F1F2|

 ×d，由此建立關(guān)于d的方程，即可解出點(diǎn)P到x軸的距離．

解答：解：∵橢圓

x2

10

+y2=1中，a²=10，b²=1，
∴c²=a²-b²=9，得c=3，
焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0）．
∵

PF1

•

PF2

=0，∴

PF1

⊥

PF2

，
可得

|PF1|

2+

|PF2|

2=

|F1F2|

2=36，
∵根據(jù)橢圓的定義，得

|PF1|

 +

|PF2|

 =2a=2

10

，
∴2

|PF1|

 •

|PF2|

 =（

|PF1|

 +

|PF2|

 ）²-（

|PF1|

2+

|PF2|

2）=4，
可得

|PF1|

 •

|PF2|

 =2，
∵

PF1

⊥

PF2

，
∴△PF₁F₂的面積為S=

1

2

|PF1|

 •

|PF2|

 =1．
又∵設(shè)d為點(diǎn)P到x軸的距離，可
得△PF₁F₂的面積為S=

1

2

|F1F2|

 ×d，
∴

1

2

|F1F2|

 ×d=1，
即

1

2

×6×d=1，解得d=

1

3

，
即點(diǎn)P到x軸的距離等于

1

3

．
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題已知橢圓上點(diǎn)P對(duì)兩個(gè)焦點(diǎn)張角為直角，求該點(diǎn)到x軸的距離，著重考查了橢圓中的三角形面積計(jì)算、橢圓的定義與簡單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．