Question

已知數列{a_n}為公差大于0的等差數列，S_n為其前n項和，且a₁a₆=21，S₆=66．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足bn=xan+3，求{b_n}的前n項和T_n；
（3）若數列{c_n}是等差數列，且c_n=

Sn

n+p

，求常數p．

Answer 1

分析：（1）由 S₆=66 求出a₁+a₆=22，再由a₁a₆=21，公差大于0可得 a₁=1，a₆=21，求出公差d=4，可得數列{a_n}的通項公式．
（2）先求出bn=xan+3=x⁴ⁿ⁺⁹，分x=0時、x=1時、x≠0 且x≠-1時三種情況，分別求得，{b_n}的前n項和 T_n的值，
綜合可得結論．
（3）先求出 S_n=2n²-n，可得c_n=

Sn

n+p

=

2n2-n

n+p

．再由c₁+c₃=2c₂，由此解得 p的值．

解答：解：（1）∵S₆=66=

6(a1+a6)

2

，∴a₁+a₆=22．再由a₁a₆=21
可得 a₁ 和a₆是方程 x²-22x+21=0的兩個根，再由公差大于0可得 a₁=1，a₆=21，
由于a₆=21=a₁+5d，故公差d=4，故 a_n =4n-3．
（2）bn=xan+3=x⁴ⁿ⁺⁹，
當x=0時，bn=xan+3=0，{b_n}的前n項和 T_n=0．
當x=1時，bn=xan+3=1，{b_n}的前n項和 T_n=n．
當x=-1時，bn=xan+3=-1，{b_n}的前n項和T_n=-n．
當x≠0 且x≠±1時，bn=x4n+9，{b_n}的前n項和 T_n=

x13(1-x4n)

1-x4

．
綜合可得，{b_n}的前n項和Tn=

0，x=0 n，x=1 -n，x=-1 x13(1-x4n) 1-x4 ，x≠±1且x≠0

．
（3）∵S_n=n×1+

n(n-1)

2

×4=2n²-n，∴c_n=

Sn

n+p

=

2n2-n

n+p

． 
∵{c_n}是等差數列，∴c₁+c₃=2c₂，即

1

1+p

+

15

3+p

=2×

6

2+p

，
由此解得 p=0，或 p=-

1

2

．

點評：本題主要考查等差關系的確定，等差數列的定義和性質，等差數列的通項公式，前n項和公式的應用，屬于中檔題．