Question

13．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S_n=2a_n-2
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=log₂a_n，c_n=$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$，記數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，求 T_n；
（Ⅲ）設d_n=na_n，記數(shù)列{d_n}的前n項和為G_n，求G_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關系與等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）由b_n=log₂a_n得b_n=log₂2ⁿ=n，可得c_n=$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$=$\frac{1}{{n（{n+1}）}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，利用“裂項求和”方法即可得出．
（3）利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）當n=1時，a₁=2，…（1分）
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2）…（2分）
即：$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=2$，…（3分）
∴數(shù)列{a_n}為以2為公比的等比數(shù)列，∴${a_n}={2^n}$…（4分）
（2）由b_n=log₂a_n得b_n=log₂2ⁿ=n，…（5分）
則c_n=$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$=$\frac{1}{{n（{n+1}）}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，…（6分）
T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．…（8分）
（3）${d_n}=n{a_n}=n×{2^n}$，${G_n}=1×2+2×{2^2}+3×{2^3}+…+n×{2^n}$，
?$2{G_n}=1×{2^2}+2×{2^3}+3×{2^4}+…+（n-1）×{2^n}+n×{2^{n+1}}$…?…（9分）
錯位相減得，$-{G_n}=2+{2^2}+{2^3}+…+{2^n}-n×{2^{n+1}}$=$\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}-n×{2^{n+1}}=（1-n）{2^{n+1}}-2$…（11分）
從而，${G_n}=（n-1）{2^{n+1}}+2$…（12分）

點評 本題考查了“錯位相減法”、等比數(shù)列的通項公式與求和公式、“裂項求和”方法、數(shù)列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．