Question

已知過點A（-1，0）的動直線l與圓C：x²+（y-3）²=4相交于P，Q兩點，M是PQ的中點，l與直線m：x+3y+6=0相交于點N，則下面運算結果為定值的有
①②
③④．

1. A.
   1個
2. B.
   2個
3. C.
   3個
4. D.
   4個

Answer 1

C
分析：根據(jù)已知條件，我們可以求出兩條直線的交點N的坐標（含參數(shù)k），然后根據(jù)向量數(shù)量積公式，利用切割線定理判斷為定值，即可求出，，的值，進而得到結論
解答：解：對于①，由題意，過A作AT與圓相切，切點為T，根據(jù)切割線定理可知=定值．①正確．
對于②，==不是定值，②不正確；
對于③，對于④，因為CM⊥MN，
∴==+=，
當直線l與x軸垂直時，易得N（-1，-），
則 =（0，-），又=（1，3），
∴==-5，
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x+1），
則由 y=k（x+1）x+3y+6=0，得N（， ），
則 =（，），
∴===-5，
綜上，與直線l的斜率無關，且 =-5．③④正確．
正確的個數(shù)為3個．
故選C．
點評：此題考查向量的數(shù)量積的應用，切割線定理的應用，學生掌握兩直線垂直時斜率滿足的條件，靈活運用平面向量的數(shù)量積的運算法則化簡求值，靈活運用點到直線的距離公式化簡求值，會利用分類討論的數(shù)學思想解決實際問題，是一道綜合題．