Question

20．已知圓$M：{（{x+\sqrt{5}}）^2}+{y^2}$=4，圓$N：{（{x-\sqrt{5}}）^2}+{y^2}$=4，動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是$\frac{x^2}{4}-{y^2}=1，（{x≥2}）$．

Answer 1

分析 由兩圓的方程分別找出圓心M與N的坐標(biāo)，及兩圓的半徑r₁與r₂，設(shè)圓P的半徑為r，根據(jù)圓P與M外切，與B內(nèi)切，得到PM=r+2，PN=r-2，即可可得出軌跡方程．

解答 解：由圓$M：{（{x+\sqrt{5}}）^2}+{y^2}$=4，圓$N：{（{x-\sqrt{5}}）^2}+{y^2}$=4，
得到M（-$\sqrt{5}$，0），半徑r₁=2，N（$\sqrt{5}$，0），半徑r₂=2，
設(shè)圓P的半徑為r，
∵與圓M外切而內(nèi)切于圓N，
∴PM=r+2，PN=r-2，
∴PM-PN=4，又MN=2c=2$\sqrt{5}$，
∴P的軌跡是雙曲線的右支，a=2，c=$\sqrt{5}$，
∴b=1，
∴圓心P的軌跡方程$\frac{x^2}{4}-{y^2}=1，（{x≥2}）$．
故答案為$\frac{x^2}{4}-{y^2}=1，（{x≥2}）$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了圓與圓的位置關(guān)系，雙曲線的基本性質(zhì)，以及動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，兩圓的位置關(guān)系由圓心角d與兩圓半徑R，r的關(guān)系來(lái)判斷，當(dāng)d＜R-r時(shí)，兩圓內(nèi)含；當(dāng)d=R-r時(shí)，兩圓內(nèi)切；當(dāng)R-r＜d＜R+r時(shí)，兩圓相交；當(dāng)d=R+r時(shí)，兩圓外切；當(dāng)d＞R+r時(shí)，兩圓外離．